[논문 리뷰] The Global Jacquet-Langlands Correspondence via Tensor Products

Jun Yang|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 08.

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한 줄 요약

본 논문은 global Jacquet–Langlands correspondence for GL(2)을 similitude theta correspondence를 통해 global Hecke algebras 위의 tensor product로 구현하여, archimedean와 non-archimedean 장소를 통합한다.

ABSTRACT

We prove that the global Jacquet--Langlands correspondence ${ m JL}$ for ${ m GL}(2)$ can be realized via tensor products over Hecke algebras. Let $G$ be a non-split inner form of ${ m GL}(2)$ over a number field. Using the similitude theta correspondence, the space $L^2(D(\mathbb{A}) imes \mathbb{A}^{ imes})$ acquires the structure of a $G(\mathbb{A})$-$(G(\mathbb{A}) imes { m GL}(2,\mathbb{A}))$ bimodule such that $L^2(G(F)\backslash G(\mathbb{A}),χ)\otimes_{\mathcal{H}(G)}L^2(D(\mathbb{A}) imes \mathbb{A}^{ imes})~\cong~\oplus_{π\in {\mathcal{A}}(G,χ^{-1})}$ $π\otimes{ m JL}(π).$ This decomposition into irreducible representations of $G(\mathbb{A}) imes { m GL}(2,\mathbb{A})$ recovers the full global Jacquet-Langlands correspondence.

연구 동기 및 목표

• Howe duality와 theta correspondences를 통해 quaternionic inner form의 automorphic 표현을 몫으로 삼는 것을 동기로 제시한다.
• global Jacquet–Langlands transfer를 global Hecke algebra 위의 tensor product로 실현한다.
• similitude 설정에서 로컬 및 글로벌 theta correspondences를 연결하여 JL transfers를 재현한다.
• trace formulas 없이 archimedean 및 non-archimedean 장소를 균일하게 다루는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• Howe duality 및 theta correspondence를 사용하여 dual pairs inside symplectic groups을 다룬다.
• similitude (induced) Weil representation을 개발하고 global Hecke algebra 위의 tensor product를 정의한다.
• similitude big theta lift가 tensor product로 구현될 수 있음을 보인다: Θ(π) ≅ π^∨ ⊗_{ℋ(G)} Ω_𝔸.
• global auto-correlation를 확립한다: L^2(G(F)\backslash G(𝔄), χ) ⊗_{ℋ(G)} L^2(D(𝔄)×𝔸^×) ≅ ⊕ π ⊗ JL(π).
• theta lifts의 로컬–글로벌 호환성과 quaternionic setting에서 로컬 lifts의 irreducibility를 모든 장소에서 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL(2)에 대한 global Jacquet–Langlands correspondence가 global Hecke algebra 위의 tensor product를 통해 구현될 수 있는가?
• RQ2 similitude theta correspondence가 자동폼 스펙트럼에서 Jacquet–Langlands transfers를 어떻게 인코딩하는가?
• RQ3 로컬 Howe duality 결과가 quaternionic dual pairs에 대해 글로벌 설정으로 균일하게 확장되는가?
• RQ4 trace formulas 없이 tensor-product 프레임워크에서 archimedean과 non-archimedean 장소를 균일하게 다룰 수 있는가?

주요 결과

• There is a canonical isomorphism expressing the global theta lift as a tensor product over the global Hecke algebra.
• The global Jacquet–Langlands transfer arises from the tensor-product realization and is compatible with local lifts at every place.
• The framework recovers the automorphic decomposition L^2(G(F)\backslash G(𝔄), χ) ⊗_{ℋ(G)} L^2(D(𝔄)× 𝔸^×) ≅ ⊕ π ⊗ JL(π) within the D^×(𝔄) × GL(2, 𝔄) setting.
• The approach provides a uniform, trace-formula-free method that aligns archimedean and non-archimedean analysis via Hecke-module tensor products.
• The tensor-product realization connects theta functoriality with global transfer principles for GL(2) and its quaternionic inner form.