[논문 리뷰] The Godbillon-Vey class, invariants of manifolds and linearised M-Theory

Ioannis P. Zois|ArXiv.org|2000. 06. 21.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비가환 토러스 위의 Connes-Douglas-Schwarz 압축을 통해 선형화된 M-이론 내에서 비가환 솔리톤 간 전이 진폭을 계산하기 위해 Godbillon-Vey 클래스를 적용한다. 3-다양체에 대한 새로운 불변량을 도입하고, 타이트한 접촉 3-다양체에 대해 심플렉틱 4-다양체를 경계로 삼는 코버디즘으로 아벨리안 초전도체 이론을 재정의하며, 임베딩의 함자에 대한 선형화를 통해 임베딩의 함자를 선형화함으로써 위상적 M-이론 라그랑지안을 이차형식으로 수정한다.

ABSTRACT

We apply the Godbillon-Vey class to compute the transition amplitudes between some non-commutative solitons in M-Theory; our context is that of Connes-Douglas-Schwarz where they considered compactifications of matrix models on noncommutative tori. Two important consequences follow: we describe a new normalisation for the Abelian Chern-Simons theory using symplectic 4-manifolds as providing cobordisms for tight contact 3-manifolds and we construct a new(?) invariant for 3-manifolds. Moreover we modify the topological Lagrangian density suggested for M-Theory in a previous article to a extsl{quadratic} one using the fact that the \emph{functor of immersions is a linearisation (or ``the differential'') of the functor of embeddings}

연구 동기 및 목표

• 선형화된 M-이론 내에서 비가환 솔리톤 간 전이 진폭을 Godbillon-Vey 클래스를 사용하여 계산하는 것.
• 타이트한 접촉 3-다양체에 대해 심플렉틱 4-다양체를 경계로 삼는 코버디즘으로 아벨리안 초전도체 이론의 새로운 정규화를 수립하는 것.
• Godbillon-Vey 클래스와 분할 이론을 기반으로 하여 3-다양체에 대한 새로운 불변량을 구축하는 것.
• 임베딩 함자를 선형화하는 임베딩의 함자를 통해 위상적 M-이론 라그랑지안을 이차형식으로 재구성하는 것.
• M-이론과 비가환 기하학의 맥락에서 K-이론, 분할, 지수 이론 간의 상호작용을 탐구하는 것.

제안 방법

• 비가환 토러스 위의 Connes-Douglas-Schwarz 행렬 모델 압축 프레임워크 내에서 선형화된 M-이론 내 전이 진폭을 계산하기 위해 Godbillon-Vey 클래스를 사용한다.
• Godbillon-Vey 클래스를 사용하여 Haefliger의 구조의 코homology와 Gelfand-Fuchs 코homology를 통해 3-다양체에 대한 새로운 불변량을 정의한다.
• 타이트한 접촉 3-다양체 사이의 경계로 심플렉틱 4-다양체를 사용하여 아벨리안 초전도체 이론을 재해석함으로써 새로운 정규화 체계를 제공한다.
• 임베딩 함자의 미분(선형화)으로서의 임베딩 함수의 선형화를 통해 위상적 M-이론 라그랑지안을 원래 형태에서 이차형식으로 수정한다.
• 호모토피와 게이지 유사 동치 관계에 대해 모odulo된 Haefliger의 구조의 위상적 범주에 Quillen의 고차원 대수적 K-이론을 적용하여 새로운 K-이론 $K_{\text{\Gamma}}(M)$을 정의한다.
• 분할의 환기 군 $G(F)$ 위에서 Quillen-Segal 구성법을 적용하여, Connes의 $K^*_{\text{top}}(G)$와 유사한 K-이론 $K_G(M)$을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Godbillon-Vey 클래스는 M-이론 내 비가환 솔리톤 간 전이 진폭을 계산하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 심플렉틱 4-다양체가 아벨리안 초전도체 이론과 타이트한 접촉 3-다양체의 맥락에서 경계로 기능할 경우 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 Godbillon-Vey 클래스는 3-다양체에 대한 새로운 위상 불변량을 유도하는가?
• RQ4 임베딩 함자의 선형화를 통해 위상적 M-이론 라그랑지안을 이차형식으로 수정할 수 있는가?
• RQ5 분할이 있는 다양체 위에서 식별된 여섯 가지 K-이론—일반적, 비틀림, Haefliger 기반, 군자기 기반 등—간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• Godbillon-Vey 클래스는 비가환 토러스 위의 압축을 통해 선형화된 M-이론 내 비가환 솔리톤 간 전이 진폭을 계산하는 데 새로운 방법을 제공한다.
• Haefliger의 구조의 코homology를 사용하여 Godbillon-Vey 클래스와 함께 3-다양체에 대한 새로운 불변량이 구축되었으며, 이 K-이론은 문헌에서 처음으로 등장한다.
• 심플렉틱 4-다양체를 타이트한 접촉 3-다양체 간의 경계로 사용하여 아벨리안 초전도체 이론이 재정규화되었으며, 이는 새로운 기하학적 해석을 제공한다.
• 임베딩 함자의 선형화로 임베딩 함수의 미분으로서의 임베딩의 함수를 식별함으로써 위상적 M-이론 라그랑지안이 성공적으로 이차형식으로 수정되었다.
• 논문은 분할된 다양체에 관련된 여섯 가지의 구별되는 K-이론을 식별하였으며, 그 중 두 번째로 새로운 K-이론 $K_{\Gamma}(M)$이 호모토피와 동치 관계에 대해 모odulo된 Haefliger의 구조의 범주에 Quillen의 고차원 대수적 K-이론을 적용하여 구성되었다.
• 이러한 $K_{\Gamma}(M)$의 구성은 Haefliger의 구조의 위상적 범주에 Quillen-Segal 기계를 적용함으로써 이루어지며, Bott 주기성이 아닌 K-군을 생성하며, Gelfand-Fuchs 코homology에 의해 표현된다.