[논문 리뷰] The Goldman-Turaev Lie bialgebra and the Kashiwara-Vergne problem in higher genera

Anton Alekseev, Nariya Kawazumi외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 고정된 오리엔테이션을 가진 임의의 종수 $g$와 $n+1$개의 경계 성분을 가진 컴 pact한 표면에서 골드만-투라에프 리 대수의 형식성을 도입함으로써 증명한다. 이는 고차 종수에서 일반화된 가시와라-베르그네(Kashiwara-Vergne, KV) 문제를 도입함으로써 이루어지며, 리 대수의 호모모르피즘 $\theta: \mathfrak{g}(\Sigma) \to \mathrm{gr}\,\mathfrak{g}(\Sigma)$가 존재하고 $\mathrm{gr}\,\theta = \mathrm{id}$일 조건은 원소 $F \in \mathrm{Aut}(L)$가 고차 종수 KV 문제를 해결할 때에만 성립함을 증명한다. $g=0, n=2$ (고전적 KV)와 $g=1, n=0$의 경우 타원형 연관자(elliptic associators)를 사용하여 해를 구성하였으며, 이는 모든 $g$와 $n$에 대해 형식성을 보장하지만, 종수 1에서 일부 프레임링의 경우 형식성이 실패한다.

ABSTRACT

For a compact oriented surface $Σ$ of genus $g$ with $n+1$ boundary components, the space $\mathfrak{g}(Σ)$ spanned by free homotopy classes of loops in $Σ$ carries the structure of a Lie bialgebra equipped with a natural decreasing filtration, whose structure morphisms are called the Goldman bracket and the (framed) Turaev cobracket. We address the following Goldman-Turaev (GT) formality problem: construct a Lie bialgebra homomorphism $θ$ from $\mathfrak{g}(Σ)$ to its associated graded ${ m gr}\, \mathfrak{g}(Σ)$ such that ${ m gr} \, θ= { m id}$. In order to solve it, we define a family of higher genus Kashiwara-Vergne (KV) problems for an element $F\in { m Aut}(L)$, where $L$ is a free Lie algebra. In the case of $g=0$ and $n=2$, it is the classical KV problem from Lie theory. For $g>0$, these KV problems are new. We show that an element $F$ induces a GT formality map if and only if it is a solution of the KV problem. A crucial step in solving the higher genus KV problem is to construct solutions for the case of $g=1$ and $n=1$ in terms of certain elliptic associators following Enriquez. By solving the KV problem, we establish the GT formality for every $g$ and $n$, with the exception of some framings for $g=1$ in which case the GT formality actually does not hold. Furthermore, we introduce pro-unipotent groups ${ m KV}$ and ${ m KRV}$ which act on the space of solutions of the KV problem freely and transitively. There are injective maps ${ m GT}_1 o { m KV}, { m GRT}_1 o { m KRV}$ from Grothendieck-Teichmüller groups. As an application, we show that the Johnson obstruction given by the Turaev cobracket coincides with the one given by the Enomoto-Satoh trace. As part of our study, we prove a uniqueness theorem for non-commutative divergence cocycles on the group algebra of a free group which is of independent value.

연구 동기 및 목표

• 종수 0에서의 고전적 가시와라-베르그네 문제를 경계가 있는 고차 종수 표면으로 확장하기.
• 종수 $g$와 $n+1$개의 경계 성분을 가진 프레임링이 부여된 오리엔테이션을 가진 표면에 대해 일반화된 KV 문제 정의하기.
• 고차 종수 KV 문제의 해와 골드만-투라에프 리 대수의 호모모르픽 확장(형식성 사상) 사이의 대응 관계 수립하기.
• 타원형 연관자를 사용하여 $g=1, n=0$의 경우에 대한 해를 구성함으로써, 종수 1의 예외적 프레임링을 제외한 모든 경우에 대해 형식성 증명 완료하기.
• 해의 공간 위에 자유롭고 추이적으로 작용하는 프로-유니포텐트 군 $\mathrm{KV}$와 $\mathrm{KRV}$ 도입하기.

제안 방법

• 종수 $g$와 $n+1$개의 경계 성분을 가진 표면 $\Sigma$의 자유 호모토피 고리 집합 위에 필터링된 리 대수의 대칭을 가지는 구조 $\mathfrak{g}(\Sigma)$ 도입하기.
• 자유 리 대수 $L$에 대해 $F \in \mathrm{Aut}(L)$에 대한 일반화된 가시와라-베르그네 문제 정의하기. 이는 고전적 KV 문제를 고차 종수로 일반화한다.
• 리 대수의 호모모르피즘 $\theta: \mathfrak{g}(\Sigma) \to \mathrm{gr}\,\mathfrak{g}(\Sigma)$가 존재하고 $\mathrm{gr}\,\theta = \mathrm{id}$일 조건은 $F$가 고차 종수 KV 문제를 해결할 때에만 성립함을 증명하기.
• 엔리케스의 프레임워크를 따르며, 타원형 연관자를 사용하여 $g=1, n=0$의 KV 문제에 대한 해를 구성하기.
• 해의 공간 위에 자유롭고 추이적으로 작용하는 프로-유니포텐트 군 $\mathrm{KV}$와 $\mathrm{KRV}$ 정의하기.
• 표면 $\Sigma$의 팬티 조각 분해에 따라 의존하는, 그로텐디크-티히뮐러 군에서의 단사 군 준동형사상 $\mathrm{GT}_1 \to \mathrm{KV}$와 $\mathrm{GRT}_1 \to \mathrm{KRV}$ 수립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 골드만-투라에프 리 대수는 고차 종수에서 호모모르픽 확장(즉, 형식성)을 갖는가?
• RQ2 고전적 가시와라-베르그네 문제는 종수 $g > 0$인 표면으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 종수 1 표면에서 어떤 프레임링 선택에 대해 골드만-투라에프 리 대수의 형식성이 실패하는가?
• RQ4 그로텐디크-티히뮐러 군은 고차 종수 KV 문제의 해 공간과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 타원형 연관자는 $g=1, n=0$ KV 문제의 해를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 골드만-투라에프 리 대수의 형식성은 모든 $g$와 $n$에 대해 성립하지만, 종수 1에서 일부 프레임링의 경우 실패한다.
• $g=0, n=2$의 KV 문제에 대한 해는 이전 연구에서 이미 확립되었으며, 이는 종수 0에서의 고전적 형식성과 대응된다.
• $g=1, n=0$의 경우, 타원형 연관자를 사용하여 KV 문제의 해를 구성하였으며, 이는 고전적 프레임워크를 고차 종수로 확장한 것이다.
• $\mathrm{KV}$ 군은 고차 종수 KV 문제의 해 공간 위에 자유롭고 추이적으로 작용하며, 동시에 완비된 리 대수의 대칭 $\mathfrak{g}(\Sigma)$ 위에서 자기동형사상으로 작용한다.
• $\mathrm{KRV}$ 군 역시 해 공간 위에 자유롭고 추이적으로 작용하며, 표면 $\Sigma$의 팬티 조각 분해에 따라 의존하는 단사 준동형사상 $\mathrm{GT}_1 \to \mathrm{KV}$와 $\mathrm{GRT}_1 \to \mathrm{KRV}$ 가 존재한다.
• 자유 군의 군 대수 위에서의 비가환 분산 코사이클에 대한 유일성 정리가 증명되었으며, 이는 리 이론에서 별개의 관심사이다.