[논문 리뷰] The Gordon decompositions of the inertial currents of the Dirac electron correspond to a Foldy-Wouthuysen transformation

Ingo Kirsch, Lewis Ryder외 1명|ArXiv.org|2001. 02. 16.

Quantum and Classical Electrodynamics참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 디랙 전자의 관성 전류의 고든 분해—특히 고든 스핀 전류로 알려진 대류 전류—가 디랙 파동함수의 폴디-우우스텐 전환과 정확히 일치함을 보여준다. 저자들은 고든 스핀 전류가 보존되며 힐게보어드-우우스텐 스핀과 동일함을 보여줌으로써, 상대론적 양자역학에서 전류 분해와 디랙 해밀토니안을 뉴턴-위너 타입의 표현으로 대각화하는 유니터리 변환 사이에 직접적인 연결을 수립한다.

ABSTRACT

We consider Dirac's free electron theory on the first quantized level. We decompose its canonical spin current á la Gordon and find a conserved ``Gordon spin'' current which turns out to be equivalent to the Hilgevoord-Wouthuysen spin. We can conclude therefrom that the Gordon-type decomposition mentioned above corresponds to a Foldy-Wouthuysen transformation which transforms the Dirac wave function from the conventional Dirac-Pauli to the Newton-Wigner representation.

연구 동기 및 목표

• 디랙 방정식에서 관성 전류의 고든 분해와 폴디-우우스텐 전환 사이의 엄밀한 연결 고리를 확립하기 위해.
• 대류(고든) 스핀 전류가 보존되며 기존의 상대론적 스핀 연산자와 동일함을 보여주기 위해.
• 노이터 전류와 그 분해를 통한 장 이론적 접근을 통해 상대론적 스핀 연산자의 유도를 제공하기 위해.
• 스핀 전류의 물리적 해석을 폴디-우우스텐 전환의 관점에서 명확히 하여 오랫동안 애매하게 여겨져 온 상대론적 스핀 정의의 모순을 해결하기 위해.

제안 방법

• 디랙 라그랑지안에 노이터 정리를 적용하여 캐논성 에너지-모멘텀 및 스핀 전류 밀도를 유도하기 위해.
• 고든 분해를 사용하여 스핀 전류를 대류 및 분극 성분으로 분리하고, '고든 스핀'을 대류 성분으로 분리하기 위해.
• 팔미-루반스키 벡터와 힐게보어드-우우스텐 스핀 연산자를 스핀 보존성과 공변성의 기준점으로 사용하기 위해.
• 디랙 해밀토니안을 대각화하고 디랙-폴리 표현을 뉴턴-위너 표현으로 옮기는 유니터리 변환으로서의 폴디-우우스텐 전환을 유도하기 위해.
• 고든 스핀 전류와 힐게보어드-우우스텐 스핀 간의 동치성을 증명하기 위해, 둘 다 동일한 보존 법칙과 변환 성질을 만족함을 보여주기 위해.
• 레비-치비타 기호, 기저 행렬, 그리고 쌍대 전자기장 강도를 포함한 텐서 항등식을 사용하여 스핀 전류 표현 간의 대수적 동치성을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디랙 전자의 스핀 전류에 대한 고든 분해는 파동함수의 알려진 유니터리 변환과 일치하는가?
• RQ2 대류(고든) 스핀 전류는 보존되는가? 만약 그렇다면, 기존의 상대론적 스핀 연산자와 일치하는가?
• RQ3 장 이론적 전류의 맥락에서 힐게보어드-우우스텐 스핀 연산자는 구르세이-라이더 상대론적 스핀 연산자와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 폴디-우우스텐 전환과 관성 전류의 분해 사이에 정확한 수학적 및 물리적 대응 관계는 무엇인가?
• RQ5 보조 장 조건에 의존하지 않고도 보존 스핀 전류를 노이터 전류 체계에서 직접 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 고든 분해된 스핀 전류의 대류 부분—'고든 스핀'으로 불리는 부분—은 보존되며 연속 방정식 $ D_i ilde{S}^i = 0 $ 를 만족한다.
• 고든 스핀 전류가 고전적이고 양자적으로 모두 힐게보어드-우우스텐 스핀 연산자와 동치임을 증명하였다.
• 디랙 전류를 대류 및 분극 성분으로 분해하는 것은 정확히 디랙 파동함수의 폴디-우우스텐 전환과 일치한다.
• 폴디-우우스텐 전환은 디랙-폴리 표현을 스핀이 대각화되고 파동함수가 국소화된 상태를 묘사하는 뉴턴-위너 표현으로 매핑한다.
• 고든 방법을 통해 도출된 스핀 전류는 팔미-루반스키 벡터를 통한 상대론적 스핀 연산자와 일치하며, 파oincaré 군 표현 이론과의 일관성을 확인한다.
• 스핀 전류 표현 간의 동치성은 $ ilde{W}^{etaeta} $, $ ilde{W}^{etaetaeta} $ 및 쌍대 전자기장 강도를 포함한 대수적 항등식을 통해 확립되었으며, $ X^{etaeta} = 2S^{etaeta}_{ ext{op}} - \frac{1}{2}\sigma^{\beta\beta} $ 를 보여준다.