[논문 리뷰] The Gromov-Witten potential associated to a TCFT

Kevin J. Costello|ArXiv.org|2005. 09. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 28인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 캘리바-요우 $A_\infty$ 분류에 대해, 비압축된 곡선의 모듈리 공간에서 유도된 바탈린-빌코비치 대수를 사용하여, 델리네-멈포드 기본류를 양자 마스터 방정식의 해로 대체함으로써, 캘리바-요우 Gromov-Witten 잠재력을 정의한다. 이 구성은 주기적 순환 호몰로지에 관련된 포크 공간에 대한 정규 상태를 얻으며, 델리네-멈포드 압축화에 의존하지 않고 모든 계수에서 B-모델 잠재력을 복원한다.

ABSTRACT

This is the sequel to my preprint "TCFTs and Calabi-Yau categories", math.QA/0412149. Here we extend the results of that paper to construct, for certain Calabi-Yau A-infinity categories, something playing the role of the Gromov-Witten potential. This is a state in the Fock space associated to periodic cyclic homology, which is a symplectic vector space. Applying this to a suitable A-infinity version of the derived category of sheaves on a Calabi-Yau yields the B model potential, at all genera. The construction doesn't go via the Deligne-Mumford spaces, but instead uses the Batalin-Vilkovisky algebra constructed from the uncompactified moduli spaces of curves by Sen and Zwiebach. The fundamental class of Deligne-Mumford space is replaced here by a certain solution of the quantum master equation, essentially the "string vertices" of Zwiebach. On the field theory side, the BV operator has an interpretation as the quantised differential on the Fock space for periodic cyclic chains. Passing to homology, something satisfying the master equation yields an element of the Fock space.

연구 동기 및 목표

• 델리네-멈포드 압축화에 의존하지 않고 캘리바-요우 $A_\infty$ 분류에 대해 정규 Gromov-Witten 잠재력을 정의하는 것.
• 델리네-멈포드 공간의 기본류 사용을, 바탈린-빌코비치 대수 내의 양자 마스터 방정식의 해로 대체하는 것.
• 주기적 순환 호몰로지에 관련된 포크 공간에 정규 상태를 설정하여, Gromov-Witten 잠재력을 모델링하는 것.
• 포크 공간 위의 평탄한 접속을 통해 B-모델의 해석적 이상성에 대한 BV 이론적 해석을 제공하는 것.
• TCFT와 주기적 순환 호몰로지를 사용하여 모든 계수에서 B-모델 잠재력의 구성 방식을 통합하는 것.

제안 방법

• 차원 $d$ 만큼 이동된 호흐실드 체인을 통해 캘리바-요우 $A_\infty$ 분류에 관련된 위상적 공형장 이론(TCFT)을 사용한다.
• 센과 즈비아바의 방법을 따라 비압축된 곡선의 모듈리 공간에서 바탈린-빌코비치 대수를 구성한다.
• 이 BV 대수 내에서 양자 마스터 방정식의 해를 식별하며, 이를 즈비아바의 스트링 버텍스로 해석한다.
• 이 해를 주기적 순환 호몰로지 위의 포크 공간 상태로 매핑하며, 이는 심플렉틱 벡터 공간이다.
• 이 구성은 캘리바-요우 다양체 위의 코herent sheaf의 유도 범주에 적용되어 B-모델 잠재력을 복원한다.
• 포크 공간 형식을 사용하여 포크 공간 내 정규 선을 정의하며, 이를 Gromov-Witten 잠재력으로 해석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 델리네-멈포드 압축화를 사용하지 않고 캘리바-요우 $A_\infty$ 분류에 대해 정규 Gromov-Witten 잠재력을 정의할 수 있는가?
• RQ2 비압축된 모듈리 공간에서의 바탈린-빌코비치 형식은 델리네-멈포드 공간의 기본류의 역할을 어떻게 대체할 수 있는가?
• RQ3 양자 마스터 방정식의 해가 포크 공간 내 정규 상태를 구성하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 이로 유도된 잠재력은 B-모델의 해석적 이상성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 구성은 주기적 순환 호몰로지의 가우스-민 연결과 호환되는 포크 공간 위의 평탄한 접속을 정의하는 데로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 이 구성은 주기적 순환 호몰로지 위의 포크 공간에 정규 상태를 얻으며, 이는 Gromov-Witten 잠재력의 역할을 한다.
• 이 BV 이론적 방법을 통해 캘리바-요우 다양체 위의 B-모델에서 모든 계수에서 잠재력이 복원된다.
• 센-즈비아바 BV 대수 내의 양자 마스터 방정식의 해는 스트링 버텍스로 해석되며, 델리네-멈포드 기본류를 대체한다.
• 포크 공간 상태는 BV 연산자가 주기적 순환 체인 위의 양자화된 미분으로 작용함에 따라 불변이다.
• 이 구성은 원환의 자동성의 자명화에 의존하지 않아 이전 방법이 선택이 필요로 했던 바와 달리 정규적이다.
• 해당 잠재력은 헬로모르피크 부피 형식의 스케일링에 따라 형식적 매개변수 $\lambda$ 의 스케일링을 통해 변환되며, 해석적 이상성과 일관된다.