[논문 리뷰] The Grothendieck Construction and Gradings for Enriched Categories

Dai Tamaki|ArXiv.org|2009. 07. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 34인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 k-모듈, 체인 복합체, 위상 공간 등 일정한 조건을 만족하는 대칭 모나드 카테고리 위의 강화된 카테고리로 그로텐디크 구성법을 확장한다. 일반화된 등급 카테고리의 개념을 도입하고, 그로텐디크 구성법이 이 카테고리에 값이 있음을 증명하며, 이는 스매시 곱 생성법을 통한 우조인트를 갖는 왼쪽 수반으로서 정립된다.

ABSTRACT

The Grothendieck construction is a process to form a single category from a diagram of small categories. In this paper, we extend the definition of the Grothendieck construction to diagrams of small categories enriched over a symmetric monoidal category satisfying certain conditions. Symmetric monoidal categories satisfying the conditions in this paper include the category of $k$-modules over a commutative ring $k$, the category of chain complexes, the category of simplicial sets, the category of topological spaces, and the category of modern spectra. In particular, we obtain a generalization of the orbit category construction in [math/0312214]. We also extend the notion of graded categories and show that the Grothendieck construction takes values in the category of graded categories. Our definition of graded category does not require any coproduct decompositions and generalizes $k$-linear graded categories indexed by small categories defined by Lowen. There are two popular ways to construct functors from the category of graded categories to the category of oplax functors. One of them is the smash product construction defined and studied in [math/0312214,0807.4706,0905.3884] for $k$-linear categories and the other one is the fiber functor. We construct extensions of these functors for enriched categories and show that they are ``right adjoint'' to the Grothendieck construction in suitable senses. As a byproduct, we obtain a new short description of small enriched categories.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 카테고리에서 대칭 모나드 카테고리 위의 강화된 카테고리로 그로텐디크 구성법을 일반화하는 것.
• 합성 분해가 필요하지 않은 등급 카테고리의 개념을 정의하여 k-선형 등급 카테고리의 일반화를 이루는 것.
• 그로텐디크 구성법이 등급 카테고리의 카테고리에 값이 있음을 보이는 것.
• 강화된 환경에서 스매시 곱과 섬유 함수자를 통해 그로텐디크 구성법의 우조인트를 구성하는 것.
• 수반관계 구조를 통해 소형 강화된 카테고리의 새로운 짧은 기술을 제공하는 것.

제안 방법

• V가 곱과 내부 함의를 갖는 대칭 모나드 카테고리일 때, V-카테고리 값을 갖는 올락 함수자에 대한 그로텐디크 구성법을 정의한다.
• 객체가 X(i)에 속하는 x와 I에서 j로 가는 f: i → j인 쌍 (x, f)인 V-카테고리 Gr(X)를 구성하고, 순차적인 사상에 대한 쌍대곱을 통해 사상 정의한다.
• 작은 카테고리 I로의 등급 함수자를 갖는 V-카테고리로서 k-선형 등급 카테고리를 일반화하는 등급 카테고리의 개념을 도입한다.
• 그로텐디크 구성법의 우조인트로 작용하는 스매시 곱 생성법을 정의하며, [CM06]의 구성법을 강화된 환경으로 일반화한다.
• 그로텐디크 구성법이 대각 함수자에 대한 왼쪽 수반임을 증명하고, 이를 2-함수자적 수반관계로 확장한다.
• 특히, 코모노이드 위의 코모듈 카테고리에 의해 그로텐디크 구성법을 강화된 맥락에서 실현하기 위해, 콤마 카테고리와 코모듈 카테고리를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곱과 내부 함의를 갖는 대칭 모나드 카테고리 위의 강화된 카테고리로 그로텐디크 구성법을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 합성 분해에 의존하지 않는 강화된 카테고리에 적합한 등급의 개념은 무엇인가?
• RQ3 강화된 맥락에서 등급 카테고리에서 올락 함수자로 가는 함수자에 대한 그로텐디크 구성법이 왼쪽 수반으로서 특징지어질 수 있는가?
• RQ4 스매시 곱과 섬유 함수자는 강화된 카테고리로 어떻게 확장되며, 그로텐디크 구성법의 우조인트인가?
• RQ5 특히 체인 복합체나 스펙트럼의 카테고리에서, 그로텐디크 구성법과 호모토피 쌍대합 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 그로텐디크 구성법은 곱과 내부 함의를 갖는 대칭 모나드 카테고리 위의 강화된 카테고리로 확장되며, k-모듈, 체인 복합체, 단순 복합체, 위상 공간, 스펙트럼 등에 적용된다.
• 이 구성법은 등급 카테고리의 카테고리에 값이 있으며, 고전적 경우를 일반화하고 k-선형 카테고리 이외의 범위로 개념을 확장한다.
• 스매시 곱을 통한 새로운 2-함수자적 우조인트가 구성되며, 이는 [CM06]의 구성법을 강화된 맥락으로 일반화한다.
• 그로텐디크 구성법이 강화된 카테고리에서 올락 함수자로 가는 대각 함수자에 대한 왼쪽 수반임을 증명하고, 콤마 카테고리를 통해 이 수반관계를 확립한다.
• 섬유 함수자 구성법이 강화된 카테고리로 확장되며, 적절한 2-카테고리적 의미에서 그로텐디크 구성법의 우조인트임을 보였다.
• 논문은 수반관계 구조를 통해 소형 강화된 카테고리를 그로텐디크 구성법을 적용한 올락 함수자의 이미지로 새로운 짧은 기술을 제공한다.