[논문 리뷰] The Grothendieck group of algebraic stacks

Torsten Ekedahl|ArXiv.org|2009. 03. 18.

Commutative Algebra and Its Applications인용 수 48

한 줄 요약

이 논문은 기저가 아핀 정 stabilizer를 갖는 대수적 스택에 대한 그로텐디크 군을 도입하며, 이는 다양체의 그로텐디크 군의 국소화와 동형임을 보여준다. 코homology with compact support를 통해 오일러 특성은 스택으로 확장되며, 특히 특성 0에서 오일러 특성이 일치하는 경우에도 이를 구별할 수 있는 불변량이 구성된다. 주요 결과로는, 완비화된 국소화된 다양체의 그로텐디크 링에서 PSLₙ- torsor의 클래스가 기저와 PSLₙ 클래스의 곱이 아니라는 것이 입증되어, 나이브한 곱셈 법칙의 실패를 보여준다.

ABSTRACT

We introduce a Grothendieck group of algebraic stacks (with affine stabilisers) analogous to the Grothendieck group of algebraic varieties. We then identify it with a certain localisation of the Grothendieck group of algebraic varieties. Several invariants of elements in this group are discussed. The most important is an extension of the Euler characteristic (of cohomology with compact support) but in characteristic zero we introduce invariants which are able to distinguish between classes with the same Euler characteristic. These invariants are actually defined on the completed localised Grothendieck ring of varieties used in motivic integration. In particular we show that there are $\PSL_n$-torsors of varieties whose class in the completed localised Grothendieck ring of varieties is not the product of the class of the base and the class of $\PSL_n$.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 다양체의 그로텐디크 군과 유사하게, 아핀 정 stabilizer를 갖는 대수적 스택에 대한 그로텐디크 군을 정의하는 것.
• 이 스택 그로텐디크 군과 다양체의 그로텐디크 군의 국소화 사이의 동형을 확립하는 것.
• 완비화된 모티빅 링의 부분환을 이용해, 혼합 갈루아 표현 또는 혼합 호지 구조의 그로텐디크 군에 대한 사상과의 복합을 통해 스택에 대한 오일러 특성을 정의하는 것.
• 다항식 성장 성질을 갖는 원소들의 부분환에 더 강력한 위상을 도입하여, 유한체 위에서 프로베누스 추적의 연속성과 잘 정의됨을 보장하는 것.
• 완비화된 링 위에서 프로베누스 추적을 사용해 이것이 스택의 점 수와 일치함을 보여주며, 모티빅 및 산술 불변량을 연결하는 것.
• 푸넨 및 다른 이들의 불변량을 완비화된 링에 적용하여, 오일러 특성만으로는 구별되지 않는 비자명한 클래스를 탐지하는 것.

제안 방법

• 체 $ \mathbf{k} $ 위의 대수적 스택에 대해 $ K_0(\mathrm{Stck}_{\mathbf{k}}) $ 라는 그로텐디크 군을 정의하며, 자르기 관계(modulo scissor relations)에 따라 스택의 클래스를 모듈로 한다.
• $ K_0(\mathrm{Stck}_{\mathbf{k}}) $ 가 다양체의 그로텐디크 군인 $ K_0(\mathrm{Spc}_{\mathbf{k}}) $ 의 국소화와 동형임을 보이는 것.
• 모티빅 링의 완비화된 그로텐디크 군에 대한 사상과의 복합을 통해 스택에 대한 오일러 특성을 구성하는 것.
• 유한체 위에서 프로베누스 추적의 연속성과 잘 정의됨을 확보하기 위해 다항식 성장 성질을 갖는 원소들의 부분환에 더 강력한 위상을 도입하는 것.
• 완비화된 모티빅 링 위에서 프로베누스 추적의 값을 계산하여, 이가 스택의 점 수와 일치함을 보이며, 모티빅과 산술 불변량을 연결하는 것.
• 푸넨 등이 제시한 불변량을 완비화된 링에 적용하여 오일러 특성만으로는 식별되지 않는 비자명한 클래스를 탐지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저가 아핀 정 stabilizer를 갖는 대수적 스택의 그로텐디크 군은 국소화와 모티빅 점 수 계산이 가능하게 정의될 수 있는가?
• RQ2 코homology with compact support를 갖는 오일러 특성은 자연스럽게 대수적 스택으로 확장될 수 있으며, 이는 코homological 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 특성 0에서 오일러 특성이 동일한 스택 클래스를 식별할 수 있는 불변량이 존재하는가?
• RQ4 모티빅 링에서 $ \mathrm{PSL}_n $-torsor의 클래스는 기저와 $ \mathrm{PSL}_n $ 클래스의 곱과 동일한가?
• RQ5 그로텐디크 군의 스택을 통해 모티빅 점 수 계산을 엄밀하게 정의할 수 있으며, 이는 점 수와 같은 산술 데이터를 복원하는가?

주요 결과

• 아핀 정 stabilizer를 갖는 대수적 스택의 그로텐디크 군은 다양체의 그로텐디크 군의 국소화와 동형이다.
• 코호몰로지와 컴팩트 지지가 있는 오일러 특성은 스택으로 확장되며, 라스조와 올슨의 정의와 일치한다.
• 유한체에서, 완비화된 모티빅 링 위에서 프로베누스 추적은 스택의 점 수를 계산한다.
• 특성 0에서 푸넨의 불변량 등이 완비화된 링으로 확장되며, 오일러 특성만으로는 식별되지 않는 클래스를 탐지할 수 있다.
• 완비화된 국소화된 다양체의 그로텐디크 링에서 $ \mathrm{PSL}_n $-torsor의 클래스는 기저와 $ \mathrm{PSL}_n $ 클래스의 곱과 같지 않으며, 이는 곱셈 법칙의 실패를 보여준다.
• 차수 3의 극성을 갖는 매끄럽고 완비된 종수 1 곡선의 모듈리 스택의 경우, 클래스는 $ \mathbb{L} $ 이며, 이는 표본점이 있는 곡선의 스택과의 비교를 통해 계산된다.