[논문 리뷰] The group of automorphisms of the algebra of one-sided inverses of a polynomial algebra

V. V. Bavula|ArXiv.org|2009. 03. 17.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $n$개의 변수를 가진 다항식 대수에 한쪽 방향 역원을 첨가하여 구성된 대수 $\sigma_n$의 전체 자동사상군을 결정한다. 자동사상군 $G_n$이 $S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes \mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$의 반직적곱임을 보이며, 여기서 내부 자동사상은 $\mathrm{GL}_\infty(K)^{2^n-1}$의 사본을 포함한다. 또한 임의의 다항식 대수에 대한 야코비안 추측의 호모모르피즘과 유사한 전역 행렬식 사상도 도입한다.

ABSTRACT

The algebra $\mS_n$ in the title is obtained from a polynomial algebra $P_n$ in $n$ variables by adding commuting, {\em left} (but not two-sided) inverses of the canonical generators of $P_n$. Ignoring non-Noetherian property, the algebra $\mS_n$ belongs to a family of algebras like the Weyl algebra $A_n$ and the polynomial algebra $P_{2n}$. The group of automorphisms $G_n$ of the algebra $\mS_n$ is found: $$ G_n=S_n\ltimes \mT^n\ltimes \Inn (\mS_n) \supseteq S_n\ltimes \mT^n\ltimes \underbrace{\GL_\infty (K)\ltimes... \ltimes \GL_\infty (K)}_{2^n-1 { m times}}=:G_n' $$ where $S_n$ is the symmetric group, $\mT^n$ is the $n$-dimensional torus, $\Inn (\mS_n)$ is the group of inner automorphisms of $\mS_n$ (which is huge), and $\GL_\infty (K)$ is the group of invertible infinite dimensional matrices. This result may help in understanding of the structure of the groups of automorphisms of the Weyl algebra $A_n$ and the polynomial algebra $P_{2n}$. An analog of the {\em Jacobian homomorphism}: $\Aut_{K-{ m alg}}(P_{2n}) a K^*$, so-called, the {\em global determinant} is introduced for the group $G_n'$ (notice that the algebra $\mS_n$ is {\em noncommutative} and neither left nor right Noetherian).

연구 동기 및 목표

• 다항식 대수 $P_n$에 한쪽 방향 역원을 첨가하여 얻어진 대수 $\mathbb{S}_n$의 전체 자동사상군을 결정하는 것.
• $\mathrm{Aut}_{K\text{-alg}}(\mathbb{S}_n)$의 구조를 이해하는 것—특히 그 비노에터리안성과 비정역성.
• 비노에터리안 성질을 지닌 $\mathbb{S}_n$에 대해 야코비안 호모모르피즘과 유사한 것을 정의하는 것.
• 자기사상군 작용 하에서 $\mathbb{S}_n$의 소이데알 및 아이디포턴트 이데알의 안정자군을 분석하는 것.
• 내부 자동사상의 역할과 그들이 $\mathbb{S}_n$ 내에서 무한차원 일반선형군과 어떻게 관련되어 있는지 명확히 하는 것.

제안 방법

• 대수 $\mathbb{S}_n$는 생성자 $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$와 관계식 $y_ix_i = 1$ 및 나머지 모든 교환관계가 0임으로 정의된다.
• 자기사상군 $G_n$은 $S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes \mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$로 분해되며, 여기서 $S_n$은 변수들을 치환하고 $\mathbb{T}^n$은 변수들을 스케일링한다.
• 내부 자동사상은 조건을 만족시키는 $p_i$에 대해 $\sigma_p(y_i) = y_i + p_i E_{00}(i)$ 형태의 준동형사상으로 구성된다.
• 비노에터리안 대수에 대해 야코비안 행렬식의 개념을 확장한 전역 행렬식 사상이 $G_n$의 부분군 $G_n'$에 대해 도입된다.
• 자기사상의 작용이 $\mathbb{S}_n$의 소스펙트럼에 미치는 영향을 이용하여 소이데알 및 아이디포턴트 이데알의 안정자군의 구조를 분석한다.
• 대수 $\mathbb{S}_n$을 $V^{\otimes n}$ 위의 자기사상으로서의 텐서곱 표현을 사용하여, 이동 연산자를 통한 자동사상 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 대수 $P_n$의 한쪽 방향 역원 대수에 대해 자동사상군 $\mathrm{Aut}_{K\text{-alg}}(\mathbb{S}_n)$의 전체적인 구조는 무엇인가?
• RQ2 비노에터리안 성질을 지닌 $\mathbb{S}_n$이지만, $A_n$과 $P_{2n}$과 같은 크룰 차원과 게르파인-키릴로프 차원을 공유함에도 불구하고, 그 자동사상군은 어떻게 비교되는가?
• RQ3 비정역성과 비노에터리안 성질을 지닌 $\mathbb{S}_n$에 대해 야코비안 유형의 호모모르피즘을 정의할 수 있는가?
• RQ4 자기사상군 $\mathrm{Aut}_{K\text{-alg}}(\mathbb{S}_n)$에서 내부 자동사상의 역할은 무엇이며, 무한차원 일반선형군과의 관계는 어떠한가?
• RQ5 자기사상들은 $\mathbb{S}_n$의 소이데알 및 아이디포턴트 이데알에 어떻게 작용하며, 이러한 이데알의 안정자군은 무엇인가?

주요 결과

• 대수 $\mathbb{S}_n$의 자동사상군 $G_n$은 $S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes \mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$와 동형이며, $\mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$는 $\mathrm{GL}_\infty(K)^{2^n - 1}$과 동형인 부분군을 포함한다.
• $\mathbb{S}_n$은 좌측 및 우측로 모두 노에터리안이 아니며, 정역이 아니며, $P_{2n}$ 및 $A_n$과는 달리 이는 크룰 차원과 게르파인-키릴로프 차원이 동일하지만 구조적 차이를 보인다.
• $G_n' = S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes (\mathrm{GL}_\infty(K)^{2^n - 1})$의 부분군에 대해 전역 행렬식 사상이 정의되며, 이는 야코비안 호모모르피즘의 유사체로 기능한다.
• 준동형사상의 모노이드 $\mathrm{st}(x_1,\dots,x_n)$는 $p_i \in K[x_1,\dots,x_n]$인 사상 $\sigma_p$로 이루어져 있으며, 아벨 군이지만 조건 (64)를 만족하지 않으면 자동사상이 아니다.
• 소이데알 및 아이디포턴트 이데알의 안정자군이 분석되어, 자기사상군 작용 하에서 일부 이데알 구조가 유지됨을 보였다.
• 논문은 $\mathrm{st}(x_1,\dots,x_n) \supsetneq \prod_{i=1}^n \mathrm{st}(x_i)$임을 증명하여, 준동형사상의 모노이드가 일변수 준동형사상 모노이드의 곱보다 엄밀히 크다는 것을 보였다.