[논문 리뷰] The group of inertial automorphisms of an abelian group

Ulderico Dardano, Silvana Rinauro|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 17.

Finite Group Theory Research참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아벨 군 A의 관성 자명사상 군 IAut(A)를 조사하여, 이가 메타아벨-에이드(지역 유한)임을 보이며, 메타아벨 정규부분군 Γ를 갖는데, IAut(A)/Γ는 지역 유한이고, Γ′은 모든 부분군이 Γ 내에서 정규인 아벨 순환 부분군임을 보임. A가 순환일 경우 IAut(A)는 아벨-에이드(지역 유한)이지만, 일반적으로 (지역 아벨)-에이드(지역 유한)는 아니며, A = ℤ(p∞) ⊕ ℚp인 반례를 통해 이를 입증함.

ABSTRACT

We study the group $IAut(A)$ generated by the inertial automorphisms of an abelian group $A$, that is, automorphisms $γ$ with the property that each subgroup $H$ of $A$ has finite index in the subgroup generated by $H$ and $Hγ$. Clearly, $IAut(A)$ contains the group $FAut(A)$ of finitary automorphisms of $A$, which is known to be locally finite. In a previous paper, we showed that $IAut(A)$ is (locally finite)-by-abelian. In this paper, we show that $IAut(A)$ is also metabelian-by-(locally finite). In particular, $IAut(A)$ has a normal subgroup $Γ$ such that $IAut(A)/Γ$ is locally finite and $Γ'$ is an abelian periodic subgroup whose all subgroups are normal in $Γ$. In the case when $A$ is periodic, $IAut(A)$ results to be abelian-by-(locally finite) indeed, while in the general case it is not even (locally nilpotent)-by-(locally finite). Moreover, we provide further details about the structure of $IAut(A)$ in some other cases for $A$.

연구 동기 및 목표

• 아벨 군 A의 관성 자명사상으로 생성되는 군 IAut(A)의 구조를 규명하는 것.
• IAut(A)가 아벨-에이드(지역 유한)인지 여부를 규명하는 것. 이는 유한성 자명사상 군 FAut(A)가 아벨-에이드(지역 유한)임을 알고 있는 데 기인한 질문임.
• 안정성 군과 코너지션 작용이 IAut(A)의 정규부분군 구조 이해에 미치는 역할을 분석하는 것.
• 특수한 경우, 예를 들어 A가 순환일 경우 또는 특정 토피컬 프리 랭크를 갖는 경우에 IAut(A)의 구체적인 구조 기술을 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 (모든 A의 부분군 H에 대해 (H + Hγ)/H 가 유한한 조건을 만족하는) 관성 내향형사상의 개념을 사용함.
• IAut(A)를 관성 자명사상 γ₁, γ₂에 대해 γ₁γ₂⁻¹의 곱으로 생성되는 군으로 분석함.
• IAut(A)의 메타아벨 정규부분군 Γ를 구성하여, IAut(A)/Γ는 지역 유한이고, Γ′은 모든 부분군이 Γ 내에서 정규인 아벨 순환 부분군임을 보임.
• A를 토피컬, 약분가능, 토피컬 프리 부분군으로 분해하고, 주로 주성분과 부분군에 대한 작용을 통해 자명사상들을 연구함.
• 코너지션 작용을 분석하고, 커mutator를 계산하기 위해 A ⋊ Aut(A)의 홀로모르프 군을 사용함.
• 특히 유한성 자명사상과 관성 자명사상 간의 상호작용을 고려하여, KI군 이론과 지역 유한군 이론의 결과들을 응용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 아벨 군 A에 대해 IAut(A)는 아벨-에이드(지역 유한)인가?
• RQ2 A가 순환 아벨 군일 경우 IAut(A)의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 IAut(A)는 (지역 아벨)-에이드(지역 유한)일 수 있는가, 아니면 반례가 존재하는가?
• RQ4 관성 자명사상들은 토피컬 부분군 T(A)와 약분가능 부분군 D(A)에 어떻게 작용하는가?
• RQ5 안정성 군은 IAut(A)의 구조, 특히 유한성 자명사상과의 관계에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• IAut(A)는 메타아벨-에이드(지역 유한)이며, IAut(A)/Γ는 지역 유한이고, Γ′은 모든 부분군이 Γ 내에서 정규인 아벨 순환 부분군인 정규부분군 Γ를 갖는다.
• A가 순환일 경우 IAut(A)는 아벨-에이드(지역 유한)이며, 이 경우 주요 질문에 대해 양의 답변을 확인함.
• A = ℤ(p∞) ⊕ ℚp인 경우 IAut(A)는 (지역 아벨)-에이드(지역 유한)가 아니며, 일반 질문에 대해 부정적인 답변을 제시함.
• IAut₁(A)는 크기가 클 수 있으며, 일부 경우에 IAut₁(A)/FAut(A)는 기수 2^ℵ₀인 분해 가능 순환 없는 아벨 군임.
• r₀(A) = 1이고 모든 소수 p에 대해 Aₚ ≅ ℤ(p)인 아벨 군 A가 존재하여 IAut(A) = IAut₁(A) × {±1}이며, IAut₁(A) = Σ · FAut(A), Σ ≅ ∏ₚ ℤ(p)임을 보임.
• 이 경우, IAut₁(A)의 모든 원소는 T(A) 위에서 유한성 자명사상으로 작용하며, Σ ∩ FAut(A) = T(Σ) 이므로 Σ는 FAut(A)에 포함되지 않음.