[논문 리뷰] The growth rates of automaton groups generated by reset automata

Feyishayo Olukoya|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 23.

semigroups and automata theory참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 리셋 오토마타 및 관련 전이기계로 생성된 오토마타 군의 무한 순서에 대한 충분조건을 확립하며, 이러한 군이 유한하거나 최소한 랭크 2 이상의 자유 준군을 포함함을 보여준다. 악성 쌍의 그래프와 동기화 성질을 이용하여, 이 그래프에 순환문이 존재하면 군의 순서가 무한하다는 것을 증명한다. 특히, 카일리 유형 전이기계의 경우 군의 성장률이 |G|ⁿ임을 입증한다.

ABSTRACT

We give sufficient conditions for when groups generated by automata in a class $\mathcal{C}$ of transducers, which contains the class of reset automata transducers, have infinite order. As a consequence we also demonstrate that if a group generated by an automata in $\mathcal{C}$ is infinite, then it contains a free semigroup of rank at least 2. This gives a new proof, in the context of groups generated by automaton in $\mathcal{C}$, of a result of Chou showing that finitely generated elementary amenable groups either have polynomial growth or contain a free semigroup of rank at least 2.

연구 동기 및 목표

• 리셋 오토마타로 생성된 오토마타 군이 무한이 되는 데 필요한 충분조건를 규명하는 것.
• 유한 생성 원소적 아벨 군이 다항식 성장 또는 랭크 ≥2의 자유 준군을 포함한다는 추우의 결과를 오토마타 군의 맥락에서 새로운 방식으로 증명하는 것.
• 특히 유한군의 카일리 기계에 대해 오토마타 군의 성장 행동을 특성화하는 것.
• 동기화 전이기계에서 악성 쌍의 구조를 분석하여 무한 순서를 탐지하는 것.
• 이러한 전이기계로 생성된 무한 오토마타 군이 최소한 랭크 2 이상의 자유 준군을 포함함을 입증하는 것.

제안 방법

• 리셋 오토마타를 포함한 전이기계의 클래스를 정의하며, 이는 어떤 수준 k에서 동기화 가능하고, 역이 가역인 이중 동기화 가능함을 보장한다.
• 각 오토마타 A ∈ Ḡₙ에 대해, 상태 전이와 길이 r ≥ k인 문자열에 대한 출력을 바탕으로 '악성 쌍'의 유한 그래프 Gᵣ(A)를 구성한다.
• Gᵣ(A)에 순환문이 존재하는 것이 군의 무한 순서를 나타내는 핵심 지표가 되도록 한다.
• 귀납법과 코어 전이기계 분석을 적용하여, A가 수준 1에서 동기화 가능하고 상태 도달 조건을 만족한다면, 모든 m에 대해 Core(Aᵐ) = Aᵐ임을 보인다.
• 유한군 G의 카일리 기계 구축을 활용하여 오토마타 C(G)를 정의하며, (C(G))⁻¹가 무한 성장 조건을 만족함을 보인다.
• 모든 상태가 (C(G))ⁿ 내에서 상호 간행 가능함을 검증함으로써, (C(G))의 생성 군이 성장률 |G|ⁿ을 가짐을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리셋 오토마타로 생성된 오토마타 군이 언제 무한 순서를 가지는가?
• RQ2 악성 쌍 그래프 Gᵣ(A)에 순환문이 존재하면, 오토마타 군의 무한 순서를 탐지하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 모든 무한 오토마타 군이 동기화 전이기계로 생성된 경우, 랭크 최소 2 이상의 자유 준군을 포함하는가?
• RQ4 유한군의 카일리 기계로 생성된 오토마타 군의 성장률은 무엇인가?
• RQ5 동기화 성질과 코어 전이기계의 행동은 오토마타 군의 구조와 성장에 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 오토마타 A ∈ Ḡₙ의 악성 쌍 그래프 Gᵣ(A)에 순환문이 존재하면, A는 Xₙ^ℤ 위에서 무한 궤도를 가지며, 이는 A의 순서가 무한함을 의미한다.
• Gᵣ(A)에 순환문이 존재하면, Corollary 1.2에 따르면 A로 생성된 오토마타 군은 무한하다.
• 클래스 𝒞(리셋 오토마타를 포함)에 속하는 전이기계로 생성된 모든 무한 오토마타 군은 랭크 최소 2 이상의 자유 준군을 포함한다.
• 모든 유한군 G에 대해, 카일리 기계 C(G)로 생성된 오토마타 군은 성장률 |G|ⁿ을 가지며, Theorem 6.18에서 이를 입증하였다.
• (C(G))⁻¹는 Lemma 6.17의 조건을 만족하며, 모든 m에 대해 Core((C(G))ᵐ) = (C(G))ᵐ임을 보장함으로써 성장률 결과를 뒷받침한다.
• 모든 상태가 (C(G))ⁿ 내에서 상호 간행 가능하며, 이는 완전한 연결성과 함께 성장률 |G|ⁿ을 뒷받침한다.