[논문 리뷰] The Gysin exact sequence for $S^1$-equivariant symplectic homology

Frédéric Bourgeois, Alexandru Oancea|arXiv (Cornell University)|2009. 09. 24.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 접촉형 경계를 가진 심플렉틱적으로 비어 있는 다양체에 대해 $S^1$-동차 심플렉틱 호모로지의 Gysin 정확수열을 구축한다. 이는 비동차 이론과 동차 이론 사이를 연결하는 매개변수화된 플로어 호모로지 구성법을 사용한다. 주요 결과는 $SH^a_k(W)$, $SH^{a,S^1}_k(W)$, 및 $SH^{a,S^1}_{k-2}(W)$를 연결하는 장정확수열로, 기존의 타우토로지 정확수열과 호환되며 심플렉틱 위상수학에서 Gysin 수열의 기하적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We define $S^1$-equivariant symplectic homology for symplectically aspherical manifolds with contact boundary, using a Floer-type construction first proposed by Viterbo. We show that it is related to the usual symplectic homology by a Gysin exact sequence. As an important ingredient of the proof, we define a parametrized version of symplectic homology, corresponding to families of Hamiltonian functions indexed by a finite dimensional smooth parameter space.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱적으로 비어 있는 다양체에 대해 접촉형 경계를 가진 $S^1$-동차 심플렉틱 호모로지를 비틀림형 플로어 접근법에 따라 완전한 기하적 구성법을 제공한다.
• 비동차 이론과 동차 이론 사이를 연결하는 기초 도구로 매개변수화된 심플렉틱 호모로지 이론을 정의한다.
• SH^a_k(W)$, $SH^{a,S^1}_k(W)$, 및 $SH^{a,S^1}_{k-2}(W)$를 연결하는 Gysin 정확수열을 구축하고, 이가 기존의 타우토로지 정확수열과 호환됨을 증명한다.
• 코탄제이언트 번들에 대해 자유 루프 공간 $\Lambda L$에서 고전적 Gysin 수열과의 동형성을 보여준다.
• 강력한 대수적 웨이너이컨제임 추측(SAWC)과 강력한 동차 대수적 웨이너이컨제임 추측(EWC) 간의 관계를 명확히 하여 SAWC가 EWC를 함의함을 보여준다.

제안 방법

• 루프 공간 위의 $S^1$-작용과 해밀토니안 페르터베이션을 사용한 플로어 유형의 체인 복합체를 통해 $S^1$-동차 심플렉틱 호모로지를 구성한다.
• 비동차 이론에서 동차 이론으로의 전이를 매개하기 위해 매개변수 공간이 유한차원 미분구조를 가진 가족으로 인덱싱된 해밀토니안을 사용하는 매개변수화된 심플렉틱 호모로지 이론을 도입한다.
• 매개변수화된 이론에 대해 모어스-보트 기법을 적용하고, 붕괴와 접합 구조를 갖는 기울기 및 플로어 궤적의 매니폴드를 사용한다.
• 1차원 매니폴드의 수를 세어 정의한 체인 호모토피 $K = K_1 + K_2$를 사용하여 계속성 사상의 호모토피 동치를 증명한다.
• 코너 구성법과 필터링된 계속성 사상을 사용하여 서로 다른 매개변수화된 체인 복합체를 연결하고 스펙트럴 수열 수렴성을 확립한다.
• $S^1$-작용이 자명한 $(W, \partial W)$의 동차 호모로지를 적용하여 Gysin 수열이 타우토로지 수열과 호환됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱적으로 비어 있는 다양체에 대해 접촉형 경계를 가진 $S^1$-동차 심플렉틱 호모로지를 플로어 이론적 방법으로 엄밀하게 정의할 수 있는가?
• RQ2 비동차 심플렉틱 호모로지와 그 $S^1$-동차 대응체 간의 정확한 관계는 무엇이며, 이는 장정확수열로 표현될 수 있는가?
• RQ3 매개변수화된 심플렉틱 호모로지 구성법이 이 맥락에서 비동차 이론과 동차 이론 사이의 다리 역할을 어떻게 수행하는가?
• RQ4 $S^1$-동차 심플렉틱 호모로지의 Gysin 정확수열이 심플렉틱 호모로지의 기존 타우토로지 정확수열과 호환되는가?
• RQ5 강력한 대수적 웨이너이컨제임 추측(SAWC)은 $S^1$-동차 설정에서 강력한 동차 대수적 웨이너이컨제임 추측(EWC)을 함의하는가?

주요 결과

• $S^1$-동차 심플렉틱 호모로지 $SH^{a,S^1}_*(W)$는 다음 장정확수열에 들어간다: $\cdots \to SH^a_k(W) \to SH^{a,S^1}_k(W) \xrightarrow{D} SH^{a,S^1}_{k-2}(W) \to SH^a_{k-1}(W) \to \cdots$, 이는 Gysin 유형의 정확수열을 확립한다.
• Gysin 미분 $D$ 는 타우토로지 정확수열과 호환된다: 비동차 및 동차 이론에 대해 Gysin 수열과 타우토로지 수열 간의 교환 다이어그램을 구성하여 호환성을 보여준다.
• 코탄제이언트 번들 $W = DT^*L$에 대해, Gysin 수열 (1.4)는 자유 루프 공간 $\Lambda L$에서의 고전적 Gysin 수열과 동형이다. 즉, $\cdots \to H_*(\Lambda L) \to HS^1_*(\Lambda L) \xrightarrow{D} HS^1_{*-2}(\Lambda L) \to H_{*-1}(\Lambda L) \to \cdots$
• c_1(W) = 0$인 하위임계 스텐 맨포ลด라에 대해 $S^1$-동차 심플렉틱 호모로지가 영이 된다: $SH^{S^1}_*(W) = 0$, 이에 따라 Gysin 수열은 $(W, \partial W)$의 $S^1$-호모로지와 정확수열로서 동형이 된다.
• 강력한 대수적 웨이너이컨제임 추측(SAWC)은 강력한 동차 대수적 웨이너이컨제임 추측(EWC)을 함의한다. 이는 정리 1.2의 교환 다이어그램과 SAWC 하에서 $SH^*(W)$의 영성에 의해 보여진다.
• 매개변수화된 구성에서 호모토피 자료의 선택에 관계없이 $S^1$-동차 심플렉틱 호모로지의 동형 유형이 불변임을 스펙트럴 수열 수렴성과 계속성 사상의 호모토피 불변성에 의해 보여준다.