[논문 리뷰] The Halpern-Läuchli Theorem at a Measurable Cardinal

Natasha Dobrinen, Dan Hathaway|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 01.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가측 카디널 𝜅의 높이에 대해 유한 개의 정규 트리에 대해 Halpern-Läuchli 정리의 일致성을 증명하며, 일致성 강도의 상한으로 𝜅+d-강한 카디널이 필요한 포스팅 구성법을 사용한다. 약한 컴팩트 카디널에 대해 다양한 Halpern-Läuchli 변형이 동치임을 증명하고, 임의의 무한 카디널에서 하나의 정규 트리에 대해 강한 트리 형태가 성립함을 보여, 가측 카디널에서의 일치성 강도와 동치성에 대한 핵심 질문들을 해결한다.

ABSTRACT

Several variants of the Halpern-Läuchli Theorem for trees of uncountable height are investigated. For $κ$ weakly compact, we prove that the various statements are all equivalent. We show that the strong tree version holds for one tree on any infinite cardinal. For any finite $d \ge 2$, we prove the consistency of the Halpern-Läuchli Theorem on $d$ many $κ$-trees at a measurable cardinal $κ$, given the consistency of a $κ+d$-strong cardinal. This follows from a more general consistency result at measurable $κ$, which includes the possibility of infinitely many trees, assuming partition relations which hold in models of AD.

연구 동기 및 목표

• 가측 카디널 𝜅에서 유한 개의 정규 𝜅-트리에 대해 Halpern-Läuchli 정리의 일치성 강도를 규명하는 것.
• 비가산 카디널에서 더 약한(어느 정도 밀도 있는) 및 더 강한(강한 트리) 형태의 정리가 동치인지 조사하는 것.
• 모든 무한 카디널에서 정규 트리에 대해 강한 트리 형태의 Halpern-Läuchli 정리가 ZFC에서 성립함을 확립하는 것.
• 측도를 유지하면서 Halpern-Läuchli 정리가 다수의 트리에 대해 실현되는 포스팅 확장과 분할 관계 사이의 관계를 탐색하는 것.
• 가측 카디널에서 Halpern-Läuchli 정리의 정확한 일치성 강도와 독립성에 관한 열린 문제를 다루는 것.

제안 방법

• 𝜅가 𝜅+𝑑-강한인 모델 위에서 Add(𝜅, 𝜅+𝑑)로 포스팅하여 분할 관계 𝜅+𝑑 → (𝜅)𝑑𝜅 가 성립하도록 보장하는 것.
• 𝜅𝛼-Sacks 포스팅의 역 Easton 반복을 <𝜅𝛼-지지로 사용하여, 𝜅가 가측이고 d개의 트리에 대해 Halpern-Läuchli 정리가 성립하는 모델을 구성하는 것.
• Woodin의 결과를 적용하여 𝜅+𝑑-강한 카디널이 𝜅에 대해 𝜅+𝑑개의 코hen 부분집합을 추가한 후에도 𝜅가 여전히 가측임을 보장하는 것.
• AD의 모델에서의 분할 관계를 활용하여, 적절한 가정 하에 무한 개의 트리로 Halpern-Läuchli 정리를 확장하는 것.
• 모든 Halpern-Läuchli 변형이 동일한 포스팅 및 분할 이론 원리로부터 유도됨을 보여, 약한 컴팩트 카디널에 대해 모든 변형이 동치임을 증명하는 것.
• 큰 카디널이 존재할 때의 균형성과 색상 클래스 축소를 다룰 수 있도록 수정된 Harrington 스타일의 포스팅 추론을 비가산 카디널에 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가산 카디널 𝜅 중에서, 높이 𝜅인 트리에 대해 Halpern-Läuchli 정리가 ZFC 또는 일관적으로 성립할 수 있는 경우는 언제인가요?
• RQ2 특히 𝜅가 가측일 경우, 𝜅에 대해 Halpern-Läuchli 정리의 정확한 일치성 강도는 무엇인가요?
• RQ3 비가산 카디널에서 더 약한(어느 정도 밀도 있는) 및 더 강한(강한 트리) 형태의 Halpern-Läuchli 정리는 동치인가요?
• RQ4 가측 카디널 𝜅에서 d개의 트리에 대해 Halpern-Läuchli 정리가 성립하지만 d+1개의 트리에 대해서는 실패하는 ZFC 모델이 존재하는가요?
• RQ5 𝜅>𝜔에 대해 HL(2,2,𝜅)가 ZFC의 정리인가요?

주요 결과

• 모든 유한한 d≥2에 대해, 가측 카디널 𝜅에서 d개의 정규 𝜅-트리에 대해 Halpern-Läuchli 정리의 일致성이 𝜅+d-강한 카디널의 존재에 의해 유도됨을 보였다.
• 모든 무한 카디널 𝜅에 대해, 높이 𝜅인 단일 정규 트리에 대해 강한 트리 형태의 Halpern-Läuchli 정리는 ZFC 결과로서 성립함을 보였다.
• 𝜅가 약한 컴팩트일 경우, 𝛿<𝜅에 대해 𝛿개의 정규 𝜅-트리에 대해 모든 Halpern-Läuchli 변형이 동치임을 보였다.
• 가측 𝜅에서 d개의 트리에 대해 Halpern-Läuchli 정리의 일치성 강도는 𝜅+d-강한 카디널에 의해 상한으로 제한되며, 이는 정확한 강도일 것이라는 추측을 지지한다.
• Halpern-Läuchli 정리의 d개의 트리에 대한 일치성 강도는, 이전 Shelah 및 Dzamonja-Larson-Mitchell의 작업에서 보여진 것처럼, 한 트리의 d-크기 반선형 집합에 대한 색칠보다 일치성 강도에서 엄밀히 약하다.
• 𝜅+d-강한 카디널의 존재를 가정하면, 𝜎<𝜅에 대해 모든 𝜎에서 HL(d,𝜎,𝜅)가 성립하지만 어떤 𝜎<𝜅에 대해 HL(d+1,𝜎,𝜅)가 실패하는 모델을 구성할 수 있다.