[논문 리뷰] The Hamiltonian Approach and Phase Space Path Integration for Nonlinear Sigma Models with and without Fermions

Bas Peeters, P. van Nieuwenhuizen|ArXiv.org|1993. 12. 16.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 페르미온이 있는지 여부에 관계없이 하미르토니안 기반의 위상공간 경로적분 접근법을 비선형 시그마 모델에 대해 개발하며, 시간순서 전개에서 Δt의 선형 항을 넘어서는 모든 항을 유지해야만 올바르게 전파함수를 계산할 수 있음을 보여준다. 핵심 결과는 Δt 차수까지의 전파함수에 대한 닫힌 형태의 표현식으로, 이는 고차수로 일반화되며, 초대칭 경로적분이 초대칭 행렬식이 표준 행렬식을 대체할 때 고전적, 초-반바이어스 행렬식, 곡률 항으로 분해된다는 것을 드러낸다.

ABSTRACT

Instead of imposing the Schrödinger equation to obtain the configuration space propagator $\csprop$ for a quantum mechanical nonlinear sigma model, we directly evaluate the phase space propagator $\psprop$ by expanding the exponent and pulling all operators $\hat p$ to the right and $\hat x$ to the left. Contrary to the widespread belief that it is sufficient to keep only terms linear in $Δt$ in the expansion if one is only interested in the final result through order $Δt$, we find that all terms in the expansion must be retained. We solve the combinatorical problem of summing the infinite series in closed form through order $Δt$. Our results straightforwardly generalize to higher orders in $Δt$. We then include fermions for which we use coherent states in phase space. For supersymmetric $N{=}1$ and $N{=}2$ quantum mechanics, we find that if the super Van Vleck determinant replaces the original Van Vleck determinant the propagator factorizes into a classical part, this super determinant and the extra scalar curvature term which was first found by DeWitt for the purely bosonic case by imposing the Schrödinger equation. Applying our results to anomalies in $n$-dimensional quantum field theories, we note that the operator ordering in the corresponding quantum mechanical Hamiltonians is fixed in these cases. We present a formula for the path integral action, which corresponds one to one to any given covariant or noncovariant $\hat H$. We then evaluate these path integrals through two loop order, and reobtain the same propagators in all cases.

연구 동기 및 목표

• 비선형 시그마 모델에 대해 하미르토니안 접근법을 사용하여 체계적인 위상공간 경로적분 공식을 개발하는 것.
• 비선형 시그마 모델의 경로적분 양자화에서 오랫동안 남아있던 연산자 순서와 시간순서의 모호성을 해결하는 것.
• 협동 상태와 초대칭을 통해 이론을 페르미온을 포함하도록 확장하는 것.
• 반바이어스 행렬식과 그 초대칭 일반화가 경로적분 측도를 결정하는 데 수행하는 정확한 역할를 명확히 하는 것.
• 경로적분이 n차원 양자장론에서 슈뢰딩거 방정식과 이상성 구조와 일관됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 저자들은 시간 evolution 연산자를 Δt의 거듭제곱으로 전개하고 정규 순서를 사용하여 연산자를 체계적으로 재정렬하여, 모든 운동량 연산자  p̂를 오른쪽으로, 위치 연산자  x̂를 왼쪽으로 이동시킨다.
• 시간순서 항을 Δt 차수까지 모두 합치는 조합 문제를 해결하여 위상공간 전파함수에 대한 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.
• 페르미온의 경우, 위상공간 협동 상태를 사용하여 경로적분을 구성하여 올바른 그라스만 적분과 초하미르토니안 구조를 보장한다.
• 초대칭 경우에 표준 행렬식을 대체하는 초반바이어스 행렬식을 도입하여 전파함수의 분해형태를 이끌어낸다.
• 이 방법을 사용하여 주어진 코바리언트 또는 비코바리언트 하미르토니안 Ĥ와 정확히 일치하는 경로적분 작용을 유도한다.
• 두 루프 차수까지 경로적분을 평가하고, 슈뢰딩거 방정식과 알려진 전파함수와의 일관성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 시그마 모델에서 경로적분의 시간순서 전개를 Δt의 선형 항으로만 잘라내는 것이 왜 잘못된가?
• RQ2 페르미온의 포함이 위상공간 경로적분과 반바이어스 행렬식의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 초반바이어스 행렬식이 초대칭 비선형 시그마 모델에서 수행하는 정확한 역할는 무엇인가?
• RQ4 주어진 하미르토니안(코바리언트 또는 비코바리언트일지라도)을 정확히 재현하는 경로적분 작용을 구성할 수 있는가?
• RQ5 n차원 양자장론에서 하미르토니안의 연산자 순서는 이상성 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 경로적분의 시간순서 전개에서 조차도 Δt의 선형 항을 넘어서는 모든 항을 유지해야만 전파함수를 정확히 계산할 수 있다.
• Δt 차수까지의 위상공간 전파함수에 대한 닫힌 형태의 표현식이 유도되어 오랫동안 남아있던 조합 문제를 해결하였다.
• N=1 및 N=2 양자역학에서 초대칭인 경우 전파함수는 고전적 항, 초반바이어스 행렬식, 스칼라 곡률 항으로 분해된다.
• 초대칭 모델의 경로적분 측도에서 표준 반바이어스 행렬식이 초반바이어스 행렬식으로 대체된다.
• 하미르토니안에서 유도된 경로적분 작용은 원래의 연산자 순서와 정확히 일치하며, 두 루프 차수까지 정확한 전파함수를 재현한다.
• n차원 양자장론에서 하미르토니안의 연산자 순서는 이상성 고려에 의해 고정되며, 이는 경로적분 공식화에 반영된다.