[논문 리뷰] The Harary index of trees

Aleksandar Ilić, Guihai Yu외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 05.

Graph theory and applications참고 문헌 5인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 최단경로 거리의 역수 기반으로 정의된 그래프의 위상적 불변량인 Harary 지수를 나무에서 연구하며, 부분 순서를 설정하고 다양한 제약 조건 하에서 최대 및 최소 지수를 가진 극값 나무를 규명한다. 이는 최대 Harary 지수를 가진 나무가 최소 Wiener 지수를 가진 나무와 정확히 일치하고, 그 반대도 마찬가지로 성립함을 증명한다. 이는 여러 구조적 매개변수에 대해 성립한다.

ABSTRACT

The Harary index of a graph G is recently introduced topological index, defined on the reverse distance matrix as H(G) = P u,v2V (G) 1 d(u,v) , where d(u,v) is the length of the shortest path between two distinct vertices u and v. We present the partial ordering of starlike trees based on the Harary index and we describe the trees with the second maximal and the second minimal Harary index. In this paper, we investigate the Harary index of trees with k pendent vertices and determine the extremal trees with maximal Harary index. We also characterize the extremal trees with maximal Harary index with respect to the number of vertices of degree two, matching number, independence number, domination number, radius and diameter. In addition, we characterize the extremal trees with minimal Harary index and given maximum degree. We concluded that in all presented classes, the trees with maximal Harary index are exactly those trees with the minimal Wiener index, and vice versa.

연구 동기 및 목표

• 나무의 Harary 지수를 기반으로 별꼴 나무의 부분 순서를 설정하기.
• 모든 나무 중에서 두 번째로 큰 및 두 번째로 작은 Harary 지수를 가진 나무를 규명하기.
• pendent 정점의 수에 제약 조건이 있을 때 최대 Harary 지수를 가진 극값 나무를 규명하기.
• 지름, 반지름, 매칭 수, 독립 수, 지배 수와 같은 구조적 매개변수에 대해 최대 Harary 지수를 가진 극값 나무를 특성화하기.
• 최대 차수 제약 조건이 주어졌을 때 최소 Harary 지수를 가진 극값 나무를 규명하기.

제안 방법

• 나무 내 모든 쌍의 정점 간 최단경로 거리의 역수의 합으로 Harary 지수를 정의한다: H(G) = Σ_{u,v∈V(G), u≠v} 1/d(u,v).
• 거리 분포와 정점 차수 구성에 기반해 나무들을 비교하기 위해 구조적 그래프 이론 기법을 적용한다.
• 주어진 제약 조건 하에서 Harary 지수를 최대화 또는 최소화하는 나무를 규명하기 위해 극값 그래프 이론을 사용한다.
• 최대 Harary 지수를 가진 나무가 정확히 최소 Wiener 지수를 가진 나무와 일치하고, 그 반대도 마찬가지로 성립함을 증명함으로써 Harary 지수와 Wiener 지수 사이의 이중성 관계를 수립한다.
• 중앙 경로와 pendant 정점으로 구성된 별꼴 나무를 분석하기 위해 재귀적 거리 분해와 대칭성 원리를 사용한다.
• 도수 수열, pendent 정점 수, 구조적 불변량으로 매개변수화된 나무 집합에 대해 조합 최적화 기법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 나무 중에서 두 번째로 큰 Harary 지수를 가진 나무는 무엇인가?
• RQ2 모든 나무 중에서 두 번째로 작은 Harary 지수를 가진 나무는 무엇인가?
• RQ3 pendent 정점의 수가 고정되었을 때 최대 Harary 지수를 가진 나무의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 지름, 반지름, 매칭 수, 독립 수, 지배 수에 따라 최대 Harary 지수를 가진 극값 나무는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 최대 정점 차수가 제약 조건이 있을 때 최소 Harary 지수를 가진 나무의 구조는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 고려된 구조적 제약 조건 하에서 최대 Harary 지수를 가진 나무는 정확히 최소 Wiener 지수를 가진 나무와 일치한다.
• 동일한 제약 조건 하에서 최소 Harary 지수를 가진 나무는 정확히 최대 Wiener 지수를 가진 나무와 일치한다.
• k개의 pendent 정점을 가진 나무들 중에서 최대 Harary 지수를 가진 극값 나무는 유일하게 특성화되며, 이는 특정한 차수 분포와 경로 구조에 해당한다.
• 주어진 최대 차수에 대해 최소 Harary 지수를 가진 극값 나무는 식별되었으며, 제어된 분지 구조를 가진 캣터필러 유사한 형태임을 보였다.
• Harary 지수를 기반으로 한 별꼴 나무의 부분 순서는 완전히 결정되었으며, 극값 구성은 차수 분포와 경로 대칭성에 의해 식별 가능하다.
• Harary 지수와 Wiener 지수 사이의 이중성은 모든 조사된 나무 클래스에 걸쳐 일반적으로 성립하며, 이는 극값 행동에서 깊은 구조적 동치성을 시사한다.