[논문 리뷰] The Hawaiian earring group and metrizability

Paul Fabel|ArXiv.org|2006. 03. 10.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 화이트니의 기본군에 대해, 루프 공간으로부터 유도된 몫위상이 부여된 위상적 기본군이 메트라이즈러블하지 않음을 증명한다. 기저점 주위에서 진동이 증가하는 루프의 수열을 사용하여, 자명한 루프로의 수렴이 위상적으로 실패함을 보이고, 이는 메트릭 기반의 동치군과의 구별을 가능하게 하며, 비메트라이즈러블하고 위상적으로 동형이 아닌 구조를 확립한다.

ABSTRACT

Endowed with quotient topology inherited from the space of based loops, the fundamental group of the Hawaiian earring fails to be metrizable. The fundamental group of any space which retracts to the Hawaiian earring is also nonmetrizable.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 화이트니의 위상적 기본군이 메트라이즈러블인지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 루프 공간 위상에 의해 유도된 몫위상이 기본군에 부여될 때, 이 위상이 본질적으로 비메트라이즈러블함을 보여주기 위해.
• 이 위상군의 구조가 역극한 및 메트릭 기반의 기본군 구성과 위상적으로 구별됨을 보여주기 위해.
• 기하학적 화이트니를 메트라이즈러블한 위상적 기본군을 갖는 공간의 리트랙으로 포함시키는 데 있어 위상적 장벽을 설정하기 위해.

제안 방법

• 기하학적 화이트니의 기저점이 있는 루프 공간에 균일수렴 위상을 부여한다.
• 기본군의 위상적 구조를 루프 공간에서의 경로 성분들에 대한 자연스러운 사영 사상에 의한 몫공간으로 정의한다.
• 첫 번째 원과 $ m_n $-번째 원을 둘러싸는 루프 $ f_n $의 수열을 구성하며, 이는 비기저점에서 증가하는 진동을 갖도록 설계된다.
• 고정된 비기저점 $ q \in X_1 $와 기저점 사이의 전환 수를 세는 진동 함수 $ o(g) $를 정의한다. 이 함수는 경로 호모토피에 대해 보존된다.
• 특히 $ o(f_n) \geq n $ 임을 이용하여, $ f_n $과 경로 호모토피인 임의의 루프 수열이 균일수렴으로 자명한 루프로 수렴할 수 없음을 보인다.
• 위상적 기본군의 $ T_1 $ 성질과 경로 성분의 닫힘성을 활용하여 $ [f_n] $ 이 $ [P] $ 로 수렴하지 않음을 증명함으로써, 비메트라이즈러블성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루프 공간으로부터 유도된 몫위상이 부여된 기하학적 화이트니의 위상적 기본군 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ 는 메트라이즈러블한가?
• RQ2 위상적 기본군 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ 에 적용된 몫위상은 역극한 및 메트릭 기반의 기본군 구성과 어떻게 다를까?
• RQ3 기하학적 화이트니가 위상적 기본군이 메트라이즈러블한 공간의 리트랙이 될 수 있는가?
• RQ4 어떤 위상적 성질이 루프 공간에서 특정 수열의 기본군 내 수렴을 방해하는가?

주요 결과

• 위상적 기본군 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ 는 $ [f_n] $ 이 자명한 루프 $ [P] $ 로 수렴하지 않는다는 점을 통해 비메트라이즈러블함이 입증된다.
• 각 $ f_n $ 이 최소한 $ n $ 이상의 진동 수를 가지므로, $ C_p(HE) $ 내에서 $ [f_n] $ 의 수렴하는 부분수열이 존재하지 않으며, 이는 $ \{[f_n]\} $ 이 닫혀 있고 $ [P] $ 에 대해 집적되지 않음을 의미한다.
• 위상군 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ 는 분리 가능하고 정규이지만, 비메트라이즈러블성으로 인해 메트라이즈러블한 역극한 $ \varprojlim \pi_1(X_n, p) $ 와 위상적으로 다름을 보인다.
• 위상적 포함사상이 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ 와 역극한 공간 사이에 존재하지 않으며, 두 군은 위상적으로 동형이 아니다.
• 기하학적 화이트니가 메트라이즈러블한 위상적 기본군을 갖는 경로연결 공간 $ Y $ 의 리트랙으로 포함될 수 없다.
• 기하학적 화이트니의 위상적 기본군이 비메트라이즈러블함은, 만약 어떤 공간 $ Y $ 가 기하학적 화이트니를 리트랙으로 갖는다면, 그 공간의 위상적 기본군도 반드시 비메트라이즈러블해야 함을 시사한다.