[논문 리뷰] The Hidden Subgroup Problem in Affine Groups: Basis Selection in Fourier Sampling

Cristopher Moore, Daniel N. Rockmore외 2명|ArXiv.org|2002. 11. 20.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 18인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p$에서의 숨겨진 부분군 문제(HSP)가 $q\mid(p-1)$ 이며 $q=p/\mathrm{polylog}(p)$일 때, 강한 표준 푸리에 샘플링 방법을 사용하여 효율적으로 해결될 수 있음을 보여준다. 이는 약한 표준 방법과 忽略 아벨 방법이 이러한 군에서 실패함을 증명하여, 이 맥락에서 강한 방법이 엄밀히 더 강력하다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

Many quantum algorithms, including Shor's celebrated factoring and discrete log algorithms, proceed by reduction to a hidden subgroup problem, in which a subgroup H of a group G must be determined from a quantum state y uniformly supported on a left coset of H. These hidden subgroup problems are then solved by Fourier sampling: the quantum Fourier transform of y is computed and measured. When the underlying group is non-Abelian, two important variants of the Fourier sampling paradigm have been identified: the weak standard method, where only representation names are measured, and the strong standard method, where full measurement occurs. It has remained open whether the strong standard method is indeed stronger, that is, whether there are hidden subgroups that can be reconstructed via the strong method but not by the weak, or any other known, method. In this article, we settle this question in the affirmative. We show that hidden subgroups of semidirect products of Z_p by Z_q, where q divides (p-1) and q = p / polylog(p), can be efficiently determined by the strong standard method. Furthermore, the weak standard method and the ``forgetful'' Abelian method are insufficient for these groups. We extend this to an information-theoretic solution for the hidden subgroup problem over semidirect products of Z_p by \Z_q where q divides (p-1) and, in particular, the Affine groups A_p. Finally, we prove a closure property for the class of groups over which the hidden subgroup problem can be solved efficiently.

연구 동기 및 목표

• 비아벨 군에서 숨겨진 부분군 문제(HSP)를 해결하는 데 있어 강한 표준 푸리에 샘플링 방법이 약한 표준 방법 또는 아벨 방법보다 엄밀히 더 강력한가를 규명하는 것.
• 표현 $\mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p$에서 $q\mid(p-1)$ 및 $q=p/\mathrm{polylog}(p)$ 조건을 만족할 때, HSP가 강한 표준 방법을 통해 효율적으로 해결될 수 있음을 보여주는 것.
• 약한 표준 방법과 忽略 아벨 방법이 이러한 아핀 군에서 숨겨진 부분군을 재구성하는 데 부족함을 보여주는 것.
• $q\mid(p-1)$ 조건을 만족하는 전체 군 클래스 $\mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p$에 대해 정보 이론 수준에서 HSP를 확장하여 해결하는 것, 특히 아핀 군 $A_p$를 포함하여.
• HSP가 효율적으로 해결 가능한 군의 집합에 대한 닫힘 성질을 증명하여, 다항 크기의 정규부분군에 의한 확장을 통해 효율적 해결 가능성이 유지됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 논문은 비아벨 군에서의 푸리에 샘플링 철학을 분석하며, 표현 이름만 측정하는 약한 표준 방법과 전체 비가역 표현을 측정하는 강한 표준 방법을 구분한다.
• 숨겨진 부분군의 코스에 균일하게 분포된 상태에 대해 양자 푸리에 변환을 수행한 후, 강한 표준 기저에서 전체 측정을 수행하는 양자 알고리즘을 구축한다.
• 군 $\mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p$에서 $q=p/\mathrm{polylog}(p)$일 경우, 비아벨 구조와 고차원 표현을 활용하여 아벨 푸리에 변환으로는 접근할 수 없는 부분군 정보를 추출한다.
• 저자들은 강한 방법에서 측정 결과의 확률 분포가 숨겨진 부분군을 유일하게 특정함을 증명하며, 표현 이름의 중복성으로 인해 약한 방법이 실패함을 밝힌다.
• 가우스 합과 특징 내적을 사용하여, $\mathbb{Z}_p^*\times\mathbb{Z}_p$에서의 아벨 푸리에 변환은 $b\neq 0$일 때 공轭 부분군 $H_a^b$를 구분할 수 없음을 보여, 그 부적합성을 입증한다.
• 닫힘 성질을 확립: 만약 HSP가 군 $H$에서 효율적으로 해결 가능하고 $K$가 다항 크기의 정규부분군이라면, $K\lhd G$ 이며 $G/K\cong H$ 를 만족하는 임의의 확장 $G$ 에서도 HSP는 효율적으로 해결 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨 군에서 HSP를 해결하는 데 있어 강한 표준 푸리에 샘플링 방법이 약한 표준 방법 또는 아벨 방법보다 엄밀히 더 강력한가?
• RQ2 강한 표준 방법을 사용하여 아핀 군 $A_p = \mathbb{Z}_p^*\ltimes\mathbb{Z}_p$에서 HSP를 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ3 왜 약한 표준 방법과 忽略 아벨 방법은 $q=p/\mathrm{polylog}(p)$ 조건을 만족하는 $\mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p$에서 숨겨진 부분군을 재구성하지 못하는가?
• RQ4 $q\mid(p-1)$ 조건을 만족하는 $\mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p$에서 HSP의 정보 이론적 해결 가능성은 무엇인가?
• RQ5 HSP가 효율적으로 해결 가능한 군의 집합은 다항 크기의 정규부분군에 의한 군 확장에 대해 닫혀 있는가?

주요 결과

• 강한 표준 푸리에 샘플링 방법은 $q\mid(p-1)$ 이며 $q=p/\mathrm{polylog}(p)$ 조건을 만족할 때 $\mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p$에서 숨겨진 부분군을 효율적으로 재구성할 수 있으나, 약한 표준 방법과 忽略 아벨 방법은 그렇지 않다.
• 아핀 군 $A_p$에서는 강한 방법을 통해 HSP가 정보 이론적으로 해결 가능하지만, $\mathbb{Z}_p^*\times\mathbb{Z}_p$에서의 아벨 푸리에 변환을 통해선 불가능하다.
• 강한 방법에서 측정 결과의 확률 분포는 숨겨진 부분군을 유일하게 결정하며, 반면 약한 방법은 표현 이름의 중복성으로 인해 실패한다.
• 아벨 푸리에 변환은 $b\neq 0$일 때 공轭 부분군 $H_a^b$를 구분할 수 없는데, 그 이유는 확률이 $b$에 의존하지 않기 때문이다. 따라서 이들은 구분 불가능하다.
• HSP가 효율적으로 해결 가능한 군의 집합은 다항 크기의 정규부분군에 의한 확장에 대해 닫혀 있으며, 이는 이전의 가역군 및 매끄럽게 해결 가능한 군에 대한 결과를 일반화한다.
• 알고리즘은 오рак스 함수와 효율적인 군 연산에 접근할 수 있을 때 다항 시간 내에 실행 가능하며, 다항 수의 쿼리와 고전적 후처리만 필요로 한다.