[논문 리뷰] The Hitting Times with Taboo for a Random Walk on an Integer Lattice

E. Vl. Bulinskaya|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 06.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Z^d에서 대칭적이고 기약 가능한 랜덤 워크에 대해 금지 상태 z를 고려한 도달 시간을 분석하며, x에서 출발하여 z를 피하고 목표 상태 y에 도달할 확률에 초점을 맞춘다. d ≥ 2일 경우(단순 랜덤 워크가 Z에서인 경우 제외), 도달 시간 분포의 尾함수 감쇠는 오직 차원 d에 의존하며, 반대로 Z에서의 단순 랜덤 워크의 경우 감쇠 속도와 생존 확률은 x, y, z의 상대적 위치에 따라 결정된다.

ABSTRACT

For a symmetric, homogeneous and irreducible random walk on d-dimensional integer lattice Z^d, having zero mean and a finite variance of jumps, we study the passage times (with possible infinite values) determined by the starting point x, the hitting state y and the taboo state z. We find the probability that these passages times are finite and analyze the tails of their cumulative distribution functions. In particular, it turns out that for the random walk on Z^d, except for a simple (nearest neighbor) random walk on Z, the order of the tail decrease is specified by dimension d only. In contrast, for a simple random walk on Z, the asymptotic properties of hitting times with taboo essentially depend on the mutual location of the points x, y and z. These problems originated in our recent study of branching random walk on Z^d with a single source of branching.

연구 동기 및 목표

• Z^d에서 대칭적이고 기약 가능한 랜덤 워크가 x에서 출발하여 z를 금지 상태로 삼고 y에 도달할 확률을 특성화하는 것.
• t → ∞일 때 생존 함수 Hx,y,z(t) = P(T_{x,y,z} > t)의 渐近적 행동을 분석하며, 특히 Hx,y,z(∞) − Hx,y,z(t)의 감쇠 속도를 다루는 것.
• 도달 시간이 거의 확실히 유한하거나 양의 확률로 유한해지는 조건을 규명하는 것.
• 일般적인 랜덤 워크(Z^d, d ≥ 2)와 Z에서의 특수한 경우인 단순 랜덤 워크의 행동을 구분하는 것.
• 기원점에 단일 분열 원천이 있는 분열 랜덤 워크에서 입자 궤적을 이해하기 위한 이론적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 금지 상태 z를 고려한 도달 시간의 누적 분포함수 Hx,y,z(t)를 정의하며, x에서 출발하여 y에 도달하는 첫 번째 도달 시간을 모델링한다.
• 대칭성, 동질성, 기약성, 점프의 유한한 분산을 가정한 연속시간 마코프 체인의 생성자 A를 사용한다.
• 전이 확률의 라플라스 변환 Gλ(x,y) = ∫₀^∞ e^{-λt} p(t;x,y) dt를 사용하여 渐近적 행동을 분석한다.
• 푸리에 변환과 가장 급격한 경로 방법을 적용하여 전이 확률의 渐近 전개 p(t;x,y) ~ γ_d t^{-d/2}를 유도한다.
• 타우버 정리(예: [14]의 정리 4, 챕터 13, 섹션 5)를 적용하여 λ → 0+일 때 라플라스 변환의 행동을 Hx,y,z(t)의 꼬리 감쇠와 연결한다.
• d ≥ 4일 경우, 라플라스 변환 표현을 [d/2]−1번 미분하고 점근적 순서를 비교하여 주요 항을 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 z가 금지 상태일 때, y에 도달하는 도달 시간이 유한할 확률, 즉 Hx,y,z(∞) ∈ [0,1]은 얼마인가?
• RQ2 다양한 차원 d에 대해 t → ∞일 때 P(T_{x,y,z} > t)의 감쇠 속도는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 왜 Z에서의 단순 랜덤 워크는 고차원 워크와는 근본적으로 다른 渐近적 행동을 보이는가?
• RQ4 1차원에서 x, y, z의 상대적 위치는 생존 확률과 감쇠 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 Green의 함수 G₀(x,y)는 금지 상태가 있는 도달 시간의 渐近적 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• d ≥ 3일 경우, 일반적인 대칭적 랜덤 워크에서 금지 상태가 있는 도달 시간의 꼬리는 t^{-(d+1)/2}로 감쇠하며, x, y, z에 관계없이 동일하며, Hx,y,z(∞) ∈ (0,1)이다.
• d = 2일 경우, 꼬리 감쇠는 로그적이다: t → ∞일 때 Hx,y,z(∞) − Hx,y,z(t) ∼ C / log t이며, C > 0는 x, y, z에 따라 달라진다.
• d = 1일 경우, 감쇠 속도와 생존 확률 Hx,y,z(∞)는 x, y, z의 상대적 위치에 따라 결정되며, 예를 들어 x와 y의 부호가 반대일 경우 Hx,y,0(∞) = 0이다.
• Z에서의 단순 랜덤 워크의 경우, 0 < x < y 또는 y < x < 0일 때 감쇠는 지수적이다: 어떤 ε > 0에 대해 Hx,y,0(∞) − Hx,y,0(t) ≤ e^{-εt}이다.
• 1차원에서 x < 0 < y 또는 y < 0 < x일 경우, 모든 t에 대해 Hx,y,0(t) ≡ 0이므로 생존 확률은 0이며 감쇠는 자명하다.
• d ≥ 4일 경우, Hx,y,z(∞) − Hx,y,z(t)의 渐近적 행동은 라플라스 변환의 [d/2]−1차 미분에 의해 결정되며, 주요 기여는 라플라스 변환 차이의 분해에서 첫 번째 항에서 비롯된다.