[논문 리뷰] The $ ho$ parameter at three loops and elliptic integrals

J. Blümlein, A. Freitas외 4명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Particle physics theoretical and experimental studies참고 문헌 37인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 표준 모형에서 ρ 파라미터의 두 질량 세 루프 보정을 위한 여섯 개의 마스터 적분의 해석적 계산을 제시한다. 이는 미분 방정식이 1차 인수분해되지 않는 경우에 중점을 두며, 초함수적 및 타원 함수를 사용하여 반복 적분의 새로운 클래스를 포함하는 비반복 성분을 가진 해를 유도한다. 이는 완전한 타원 적분과 모듈라 형식을 이용한 δ(2)의 완전한 해석적 결과를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We describe the analytic calculation of the master integrals required to compute the two-mass three-loop corrections to the $ ho$ parameter. In particular, we present the calculation of the master integrals for which the corresponding differential equations do not factorize to first order. The homogeneous solutions to these differential equations are obtained in terms of hypergeometric functions at rational argument. These hypergeometric functions can further be mapped to complete elliptic integrals, and the inhomogeneous solutions are expressed in terms of a new class of integrals of combined iterative non-iterative nature.

연구 동기 및 목표

• 표준 모형에서 두 질량 세 루프 보정의 ρ 파라미터를 완전한 해석적 형태로 계산하기 위해.
• 미분 방정식이 1차로 분해되지 않는 마스터 적분을 해결하여, 다중 루프 계산에서 더 높은 복잡도 클래스를 다루기 위해.
• 초함수적 및 타원 함수를 포함한 새로운 비반복 반복 적분의 클래스로 해를 표현하기 위해.
• 데데킨드 η 함수와 자코비 ϑ 함수를 통한 사상으로 해를 모듈라 형식으로 변환하여, 모든 특이성을 균일하게 다루고 해석적 구조를 개선하기 위해.
• MS 스킴에서 δ(2)에 대한 완전한 해석적 표현을 제공하여 x ∈ (0,1) 전 구간에서 유효하게 하기 위해.

제안 방법

• 마스터 적분 f8a, f9a, f8b, f9b에 대한 2차 미분 방정식 시스템을 완전한 타원 적분을 이용한 동차 해로 풀이한다.
• 매개변수의 변형을 통해 비동차 해를 구성하며, 타원 함수에서 유도된 비반복 성분을 가진 새로운 반복 적분을 도입한다.
• 명제 q와 데데킨드 η 함수를 사용하여 동차 해를 모듈라 형식으로 매핑하여 모든 특이성을 균일하게 다룰 수 있도록 한다.
• 비동차 항을 유리 함수와 모듈라 형식으로 표현하며, 모든 대수적 성분에 대해 명시적인 η 비율 표현을 제공한다.
• x=0과 x=1에서의 알려진 전개로부터 유도된 경계 조건과 적분 상수를 사용하여 해의 상수를 고정한다.
• x=0과 x=1 근처에서 해석적 결과를 전개하여 이전의 급수 전개와 일치함을 확인함으로써 일관성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 루프 양자장 이론에서 비인수분해 2차 미분 방정식을 가진 마스터 적분은 어떻게 해석적으로 풀 수 있는가?
• RQ2 동차 부분이 완전한 타원 적분을 포함할 경우 비동차 해의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 해를 모듈라 형식으로 표현하여 모든 특이성을 균일하게 다룰 수 있는가?
• RQ4 비동차 항에 비반복 성분이 포함될 경우 어떤 새로운 반복 적분의 클래스가 나타나는가?
• RQ5 x=0과 x=1에서의 알려진 급수 전개와 비교했을 때 결과는 어떻게 되며, x ∈ (0,1) 전 구간에서의 수치적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• f8a와 f8b의 동차 해는 데데킨드 η 함수를 통한 사상으로 모듈라 형식으로 매핑된 완전한 타원 적분 K(k²)와 E(k²)로 표현된다.
• 비동차 해는 반복적 및 비반복적 구조를 조합한 새로운 종류의 적분을 사용하여 구성되며, 타원 적분에서 유도된 새로운 '글자'를 포함한다.
• δ(2)(x)에 대한 완전한 해석적 해가 확보되었으며, δ(2)(0) = −3.9696로 계산되어 질량 비율이 작은 근처에서 알려진 결과와 일치한다.
• 해는 x=0과 x=1 근처에서 전개되었으며, 참고문헌 [51]에서의 급수 결과와 완전히 일치한다.
• 모듈라 형식의 사용은 타원 적분의 인자에 유리 함수를 사용하는 것과 달리 모든 특이성을 균일하게 다룬다.
• 최종적으로 δ(2)(x)의 결과는 색 인자와 마스터 적분으로 표현되며, 비평면 부분은 계수 구조에 의해 암시적으로 포함된다.