[논문 리뷰] The Hochschild cohomology ring of a Frobenius algebra with semisimple Nakayama automorphism is a Batalin-Vilkovisky algebra

Thierry Lambre, Guodong Zhou외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 36인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 반단순 Nakayama 자동형사상과 함께 하는 프로베누스 대수의 호크시ลด 코homology 링이 바탈린-빌코비츠(Batalin-Vilkovisky, BV) 대수의 구조를 지닌다는 것을 증명한다. 이는 이전의 대칭 대수와 외부 Calabi-Yau 대수에 대한 결과를 일반화한 것이다. Nakayama 자동형사상의 반단순성에 기반하여, 저자들은 Tamarkin-Tsygan 계산법과 쌍대성을 이용해 계산법을 구성함으로써, 쌍대성과 Connes의 B-연산자를 통해 BV 연산자 Δ의 존재를 증명하며, 이는 자가대칭 대수의 넓은 범주로 BV 구조를 확장한다.

ABSTRACT

Analogous to a recent result of N. Kowalzig and U. Kr\\"{a}hmer for twisted Calabi-Yau algebras, we show that the Hochschild cohomology ring of a Frobenius algebra with semisimple Nakayama automorphism is a Batalin-Vilkovisky algebra, thus generalizing a result of T.Tradler for finite dimensional symmetric algebras. We give a criterion to determine when a Frobenius algebra given by quiver with relations has semisimple Nakayama automorphism and apply it to some known classes of tame Frobenius algebras. We also provide ample examples including quantum complete intersections, finite dimensional Hopf algebras defined over an algebraically closed field of characteristic zero and Koszul duals of Koszul Artin-Schelter regular algebras of dimension three.

연구 동기 및 목표

• 대칭 대수에서의 Hochschild 코homology에 대한 BV 대수의 구조를 반단순 Nakayama 자동형사상과 함께 하는 프로베누스 대수로 일반화한다.
• 화살표-관계 대수에서 Nakayama 자동형사상의 반단순성을 판단하는 기준을 설정한다.
• Calabi-Yau 및 대칭 대수에서 알려진 BV 구조를 자가대칭 대수의 더 넓은 범주로 확장한다.
• 양자 완전 교차점과 Artin-Schelter 정규 대수의 쿠즈룰 쌍대체를 포함한 명시적 예를 제시한다.

제안 방법

• Nakayama 자동형사상으로서 이중모듈러 스위치를 사용하여 Hochschild 코homology 위에 Tamarkin-Tsygan 계산법을 구성한다.
• Nakayama 자동형사상의 반단순성을 활용하여 적합한 쌍대성 동형사상의 존재를 보장하는, 쌍대성을 갖는 미분 계산법을 정의한다.
• 컵곱과 캡곱의 구조를 연결하기 위해 Ginzburg 관계 ∂(z ∩ α) = ∂(z) ∪ α를 사용한다.
• Hochschild 미분과 자동형사상과 관련된 β-연산자 사이의 관계를 기술하기 위해 항등식 bβ_N + β_N b = 1 − T 를 적용한다.
• Connes 연산자 B와 duality 동형사상 ∂를 이용해 BV 연산자 Δ = ∂ ∘ B ∘ ∂⁻¹를 정의함으로써 BV 구조를 구성한다.
• 최종적으로 생성된 구조가 BV 공리(axiom)를 만족하는지 확인한다: Δ² = 0 이고, 게르스텐하버 괄호는 컵곱과 Δ를 통해 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 프로베누스 대수의 Hochschild 코homology 링이 바탈린-빌코비츠 대수의 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 화살표-관계로 표현된 프로베누스 대수에서 Nakayama 자동형사상의 반단순성은 어떻게 조합론적으로 판단할 수 있는가?
• RQ3 쌍대성을 갖는 Tamarkin-Tsygan 계산법이 대칭 대수와 외부 Calabi-Yau 대수의 BV 구조를 어떻게 통합하는가?
• RQ4 양자 완전 교차점이나 호프 대수와 같은 어떤 대수의 범주가 Hochschild 코homology에 대한 BV 구조 조건을 만족하는가?
• RQ5 이 설정에서 Hochschild 코homology와 호모로지 사이의 쌍대성은 BV 연산자와 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 반단순 Nakayama 자동형사상과 함께 하는 임의의 프로베누스 대수의 Hochschild 코homology 링은 바탈린-빌코비츠 대수이다.
• 화살표-관계로 주어진 프로베누스 대수에서 Nakayama 자동형사상의 반단순성을 판단하기 위한 조합론적 기준이 제시된다.
• 이 구성은 대칭 대수에 대한 Tradler의 결과와 외부 Calabi-Yau 대수에 대한 Kowalzig-Krähmer의 결과를 일반화한다.
• 예시로는 양자 완전 교차점, 복소수 체 위의 특성 0인 유한차원 호프 대수, 차원 3인 쿠즈룰 Artin-Schelter 정규 대수의 쿠즈룰 쌍대체가 포함된다.
• BV 연산자 Δ는 Δ = ∂ ∘ B ∘ ∂⁻¹ 로 표현되며, 여기서 B는 Connes 연산자이고 ∂는 쌍대성 동형사상이다.
• Ginzburg 관계 ∂(z ∩ α) = ∂(z) ∪ α 는 계산법과 BV 구조의 호환성을 확보하는 데 핵심적이다.