[논문 리뷰] The Holevo capacity of infinite dimensional channels

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|2004. 08. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 무한히 제약된 양자 채널에 대한 홀로보 용량을 도입하며, 최적의 앙상블이 존재하지 않음에도 불구하고 최적의 출력 평균 상태의 존재를 증명한다. 용량에 대한 미니맥스 표현을 수립하고, 가환성 성질들 간의 동치성을 증명하며, χ-함수가 강하게 볼록이며 하부 하우스도르프 연속임을 보이며, 용량이 일반적으로 하부 하우스도르프 연속이지만 유한 차원에서는 연속임을 보여주는 연속성 결과를 제시한다.

ABSTRACT

The notion of the Holevo capacity for arbitrarily constrained infinite dimensional quantum channels is introduced. It is shown that despite nonexistence of an optimal ensemble in this case it is possible to define the notion of the output optimal average state for such a channel. The characterization of the output optimal average state and a minimax expression for the Holevo capacity are obtained. This makes it possible to prove equivalence of several additivity properties for infinite dimensional quantum channels. The notion of the $\chi$-function for an infinite dimensional channel is considered, its strong concavity and lower semicontinuity are shown. The problem of continuity of the Holevo capacity is also discussed. It is shown that the Holevo capacity is continuous function of a channel in the finite dimensional case while in general it is only lower semicontinuous. This conclusion is confirmed by the example. The main result of this note is the statement that additivity of the Holevo capacity for all finite dimensional channels implies additivity of the Holevo capacity for all infinite dimensional channels with arbitrary constraints. The subadditivity of the $\chi$-function for two infinite dimensional channels with one of them noiseless or entanglement breaking is also proved.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 양자 채널에 대해 임의의 제약 조건 하에서 홀로보 용량을 정의하고 특성화하는 것.
• 무한차원 설정에서 최적의 앙상블이 존재하지 않는 문제를 해결하기 위해 출력 최적 평균 상태를 도입하는 것.
• 무한차원 채널에 대해 다양한 가환성 성질들 간의 동치성을 수립하는 것.
• 무한차원 공간에서 홀로보 용량의 연속성 성질과 χ-함수의 행동을 조사하는 것.

제안 방법

• 최적의 앙상블가 존재하지 않는 문제를 회피하기 위해 홀로보 용량에 대한 미니맥스 표현을 도입한다.
• 무한차원 채널에서 용량을 특성화하기 위한 핵심 대상으로 출력 최적 평균 상태를 정의한다.
• 무한차원 채널에서 χ-함수가 강하게 볼록이며 하부 하우스도르프 연속임을 증명한다.
• 홀로보 용량의 연속성 분석을 통해, 이는 유한차원에서는 연속이지만 일반적으로는 하부 하우스도르프 연속임을 보인다.
• 이중성과 변분 기법을 사용하여 용량의 미니맥스 표현을 유도한다.
• 한 채널이 잡음이 없거나 얽힘을 깨뜨리는 경우, χ-함수가 부분적으로 가환성임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적의 앙상블가 존재하지 않을 경우, 무한차원 양자 채널에 대해 홀로보 용량을 의미 있게 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 채널의 용량을 특성화하는 데 있어 출력 최적 평균 상태의 역할은 무엇인가?
• RQ3 무한차원 채널에 대해 다양한 가환성 성질들이 상호 간에 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 무한차원 설정에서 홀로보 용량은 연속적인가? 그리고 이는 유한차원 경우와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 무한차원 양자 채널에서 χ-함수의 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 최적의 앙상블가 존재하지 않음에도 불구하고, 무한차원 채널의 홀로보 용량은 미니맥스 표현을 가진다.
• 출력 최적 평균 상태가 존재하며, 이는 제약 조건 하에서 채널의 용량을 특성화하는 데 기여한다.
• 제안된 프레임워크 하에서 무한차원 채널에 대한 모든 가환성 성질들이 상호 동치이다.
• 무한차원 채널에서 χ-함수는 강하게 볼록이며 하부 하우스도르프 연속이다.
• 홀로보 용량은 유한차원에서는 연속이지만 일반적으로는 하부 하우스도르프 연속이며, 이는 반례를 통해 입증되었다.
• 두 채널 중 하나가 잡음이 없거나 얽힘을 깨뜨리는 경우, χ-함수의 부분 가환성이 성립하며, 이는 기존의 유한차원 결과를 확장한다.