[논문 리뷰] The Holographic Fluid on the Sphere Dual to the Schwarzschild Black Hole

Ryuichi Nakayama|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 06.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 near-horizon 근사 없이 d+2 차원에서 고정된 d-구면 $ r_c $ 에서의 유도된 계량을 갖는 변형된 슈바르츠실트 블랙홀 계량을 구성한다. 유체 속도 $ v^i $ 가 구면에서 작은, 일정 노름을 갖는 카일링 벡터장임을 가정함으로써, 변형된 계량은 진공 아인슈타인 방정식을 만족하고, 압축성 없는 이상 유체에 해당하는 브라운-요르크 스트레스 텐서를 도출한다. 이 유체의 유체역학적 동역학은 오일러 방정식으로 기술된다.

ABSTRACT

We consider deformation of the d+2 dimensional asymptotically flat Schwarzschild black hole spacetime with the induced metric on a d-sphere at $r=r_c$ held fixed. This is done without taking the near horizon limit. The deformation is determined so that the $Λ=0$ vacuum Einstein equation is satisfied and the metric is regular on the horizon. In this paper the velocity of a dual fluid $v^i$ is assumed to be a Killing field and small, and the deformed metric is obtained up to $O(v^2)$. At this order of hydrodynamic expansion the dual fluid is an ideal one. The structure of the metric is fairly different from the near horizon result of Bredberg and Strominger in arXiv:1106.3084.

연구 동기 및 목표

• 근사하지 않은 near-horizon 근사를 사용하지 않고, 점점 편평한 시공간에서의 슈바르츠실트 블랙홀에 대한 유체/중력 이중성을 수립하기 위해.
• r = r_c 에서 d-구면 $ \Sigma_c $ 에서의 유도된 계량을 유지하면서, $ \Lambda = 0 $ 진공 아인슈타인 방정식과 사건의 지평선에서의 정칙성을 만족하는 변형된 계량을 결정하기 위해.
• v^i 가 작은 카일링 벡터장이고 P 가 $ O(\epsilon^2) $ 임을 가정함으로써, 유체역학 전개의 2차까지의 근사에서 이중 유체의 유체역학적 극한을 탐색하기 위해.
• 브라운-요르크 스트레스 텐서가 압축성 없는 이상 유체의 것임을 식별하고, 그 유체역학 방정식이 오일러 방정식과 일치함을 검증하기 위해.

제안 방법

• d+2 차원에서의 슈바르츠실트 계량의 들어오는 에딩턴-핑켈스타인 형태에서 출발하여, v^i 와 P 에 대한 변형을 도입함으로써 $ \Sigma_c $ 에서의 유도된 계량을 고정한 채로 계량을 변형한다.
• 진공 아인슈타인 방정식($ R_{\mu\nu} = 0 $) 과 지평선에서의 정칙성을 적용하여, 계량 변형의 계수 함수를 결정한다.
• v^i 가 S^d 상에서 카일링 벡터장임을 가정하고, v^2 는 일정하며 $ O(\epsilon^2) $ 이고, P 는 $ O(\epsilon^2) $ 이다. 이를 통해 2차까지의 유체역학 전개를 단순화한다.
• 아인슈타인 방정식을 순서별로 풀며, A_2(r), A_3(r), A_5(r), A_6(r), a_1(r), a_2(r), a_3(r) 를 포함하는 계량 성분의 표현식을 유도하고, r = r_c 에서의 경계 조건을 적용한다.
• 변형된 계량에서 유도된 크리스토펠 기호를 사용하여 $ \Sigma_c $ 에서의 외적 곡률과 브라운-요르크 스트레스 텐서를 계산하고, 유체 스트레스-에너지 형식을 식별한다.
• 결과적으로 유도된 스트레스 텐서가 압축성 없는 완전 유체에 해당하며, v^i 가 카일링 성질을 가지므로 유체역학 방정식이 오일러 방정식으로 축소됨을 발견한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 근사하지 않은 near-horizon 근사를 사용하지 않고, 슈바르츠실트 블랙홀에 이중적인 헬로그래픽 유체를 구성할 수 있는가?
• RQ2 브레드버그와 스트로미징어의 (arXiv:1106.3084) near-horizon 결과와 비교했을 때, 변형된 계량의 구조는 어떻게 다를까?
• RQ3 절단 구면 $ \Sigma_c $ 에서의 브라운-요르크 스트레스 텐서의 형태는 무엇이며, 이는 알려진 유체 모델과 일치하는가?
• RQ4 계량에 존재하는 상수 a_2 는 왜 결정되지 않았는가? 이는 변형의 유일성에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 스트레스 텐서에서 유도된 유체역학은 오일러 방정식으로 식별될 수 있는가? 어떤 조건에서 가능한가?

주요 결과

• 변형된 계량은 near-horizon 근사를 사용하지 않더라도 진공 아인슈타인 방정식을 만족하고 지평선에서 정칙성을 유지한다.
• 브라운-요르크 스트레스 텐서는 v^i 와 P 에 대한 $ O(\epsilon^2) $ 변형 덕분에 압축성 없는 이상 유체의 형태를 띠며, 일정한 압력 P 를 갖는다.
• 유체가 압축성 없는 이유는 v^i 가 S^d 상에서 카일링 벡터장이므로 $ \nabla^{(h)}_i v^i = 0 $ 임을 의미하기 때문이다.
• 스트레스 텐서의 보존 법칙에서 유도된 유체역학 방정식은 오일러 방정식으로 축소되며, 이는 $ O(\epsilon^2) $ 에서 이상 유체 거동임을 나타낸다.
• 계량에 결정되지 않은 상수 a_2 가 존재하여, 변형의 유일성이 깨짐을 나타내며, 현재 조건로는 이 값을 고정할 수 없다.
• 최종 형태에서, 평탄한 $ \Sigma_c $ 경우와는 상당히 다름을 보이며, $ v_i \, dr \, dx^i $ 또는 $ \chi_i \, dx^i \, dr $ 항이 존재하지 않는다.