[논문 리뷰] The homotopy and cohomology of spaces of locally convex curves in the sphere -- II

Nicolau C. Saldanha|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 13.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 2차원 구면 위의 국소적으로 볼록한 곡선의 공간의 두 개의 비수축 가능한 연결 성분에 대해 둘째 정수 코homology군과 둘째 호모토피 군을 결정한다. 이를 통해 $ H^2({\cal L}_{+1};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^2 $, $ H^2({\cal L}_{-1,n};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} $임을 증명하고, 둘 다 단순연결임을 보인다. 루프 조작과 Mayer-Vietoris 수열을 포함한 기하학적 및 대수적 위상수학 기법을 사용하여, 이전에 알려진 수축 가능한 성분을 초월해 무한차원 공간의 구조를 규명한다.

ABSTRACT

A smooth curve $γ: [0,1] o S^2$ is locally convex if its geodesic curvature is positive at every point. J. A. Little showed that the space of all locally positive curves $γ$ with $γ(0) = γ(1) = e_1$ and $γ'(0) = γ'(1) = e_2$ has three connected components $L_{-1,c}$, $L_{+1}$, $L_{-1,n}$. The space $L_{-1,c}$ is known to be contractible but the topology of the other two connected components is not well understood. We prove that all connected components of $L_I$ are simply connected, that $H^2(L_{+1};Z) = Z^2$ and $H^2(L_{-1,n};Z) = Z$.

연구 동기 및 목표

• 2차원 구면 위의 국소적으로 볼록한 곡선의 공간의 비수축 가능한 연결 성분에 대한 둘째 정수 코homology군과 둘째 호모토피 군을 결정하는 것.
• 이전에 잘 이해되지 않았던 $ \mathcal{L}_{+1} $와 $ \mathcal{L}_{-1,n} $의 위상적 구조를 규명하는 것. 이는 $ \mathcal{L}_{-1,c} $가 수축 가능함에도 불구하고 그러한 성분들이 존재하기 때문이다.
• 이전의 호모토피 전성 결과를 확장하여 코homology군과 호모토피 군에 대한 상계를 제공함으로써, 이러한 무한차원 공간의 위상에 대한 그림을 완성하는 것.

제안 방법

• 곡선 내의 루프를 조작하기 위해 $ \Delta^\sharp $ 구조를 사용하여 서로소인 루프 커버와 호모토피 축소를 가능하게 한다.
• 열린 집합 $ A $와 $ B $를 사용한 Mayer-Vietoris 수열의 적용. 여기서 $ A $는 별형태 곡선 $ \mathcal{T}_0 $를 포함하고 $ B $는 그 여집합을 포함하며, 이를 통해 $ H^2(\mathcal{L}_{+1}) $를 계산한다.
• 이미 알려진 임베딩 공간 $ \mathcal{I}_{\pm 1} \simeq \Omega S^3 $의 호모토피 유형을 활용하고, 이와 하위공간 $ \mathcal{L}_{\pm 1} $를 비교하여 포함 유도 호모토피 및 코homology 사상의 분석을 수행한다.
• 일반성과 삼각형 분할 기법을 활용하여, $ \mathcal{L}_I \setminus (\mathcal{L}_{-1,c} \cup \mathcal{T}_0) $로의 사상들을 서로소 루프 커버를 갖는 호모토피 사상으로 줄이는 데 사용한다.
• Hurewicz 정리를 사용하여 $ \pi_2 $와 $ H^2 $를 연결하고, 교차수와 기하적 대표자를 통해 이 군의 생성자를 규명한다.
• 기하적 생성자 $ \mathbf{f}_2 \in H^2(\mathcal{L}_{+1};\mathbb{Z}) $를 정의하며, 이는 $ \mathcal{T}_1 $ 내의 codimension-2 부분복합체 $ \mathcal{F}_2 $와의 교차수로 정의된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 구면 $ \mathbb{S}^2 $ 위의 국소적으로 볼록한 곡선의 성분 $ \mathcal{L}_{+1} $에 대한 둘째 정수 코homology 군은 무엇인가?
• RQ2 성분 $ \mathcal{L}_{-1,n} $에 대한 둘째 정수 코homology 군은 무엇인가?
• RQ3 $ \mathcal{L}_{+1} $와 $ \mathcal{L}_{-1,n} $의 연결 성분들은 단순연결인가?
• RQ4 $ \mathcal{L}_{+1} $와 $ \mathcal{L}_{-1,n} $의 호모토피 및 코homology 군은 임베딩 공간 $ \mathcal{I}_{\pm 1} $의 것과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 $ \mathcal{L}_{\pm 1} $가 $ \mathcal{I}_{\pm 1} $에 포함될 때 $ \pi_2 $와 $ H^2 $에 대해 동형사상을 유도하는지 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 성분 $ \mathcal{L}_{+1} $의 둘째 정수 코homology 군은 $ H^2(\mathcal{L}_{+1};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^2 $이며, 표준 클래스 $ \mathbf{x} $와 codimension-2 부분복합체와의 기하적 교차수로부터 유도되는 추가 클래스 $ \mathbf{f}_2 $에 의해 생성된다.
• 성분 $ \mathcal{L}_{-1,n} $의 둘째 정수 코homology 군은 $ H^2(\mathcal{L}_{-1,n};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} $이며, 표준 클래스 $ \mathbf{x} $에 의해 생성되고, $ \mathcal{I}_{-1} $로의 포함은 $ H^2 $에 대해 동형사상을 유도한다.
• 성분 $ \mathcal{L}_{+1} $의 둘째 호모토피 군은 $ \pi_2(\mathcal{L}_{+1}) = \mathbb{Z}^2 $이며, 대표 사상 $ \mathbf{g}_2 $와 그 $ \nu_2 $-변형 $ \nu_2 * \mathbf{g}_2 $에 의해 생성된다.
• 성분 $ \mathcal{L}_{-1,n} $의 둘째 호모토피 군은 $ \pi_2(\mathcal{L}_{-1,n}) = \mathbb{Z} $이며, $ \mathcal{I}_{-1} $로의 포함은 $ \pi_2 $에 대해 동형사상을 유도하므로 동일한 구조를 가진다.
• $ \mathcal{L}_{+1} $와 $ \mathcal{L}_{-1,n} $는 모두 단순연결하다. 이는 모든 $ \mathbb{S}^1 $에서의 사상이 적절한 루프 조작을 거친 후 상수 사상과 호모토피가 됨을 보여서 증명된다.
• 별형태 곡선 $ \mathcal{T}_0 $와 그 여집합을 포함하는 분해에 대해 Mayer-Vietoris 수열을 적용함으로써, $ H^2(\mathcal{L}_{+1};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^2 $임을 확인하였고, 두 번째 생성자는 $ \mathcal{T}_1 $의 정규(bundle)에 기인한다.