[논문 리뷰] The homotopy fixed points of the circle action on Hochschild homology

Marc Hoyois|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 미분가군 범주에 대한 음의 순환호모로지와 주기적 순환호모로지가 각각 그 호크스하우드 복합체 위의 표준적인 원의 작용에 대한 호모토피 고정점과 테이트 고정점과 동형임을 확립한다. 콘네스의 $B$-연산자를 이 원의 작용에 대한 모델로 식별함으로써, 이 작업은 고전적 순환호모로지 이론과 등변 호모토피 이론을 통합하며, 음의 순환호모로지의 경우 오랫동안 존재했던 문헌의 빈도를 해결한다.

ABSTRACT

We show that Connes' B-operator on a cyclic differential graded k-module M is a model for the canonical circle action on the geometric realization of M. This implies that the negative cyclic homology and the periodic cyclic homology of a differential graded category can be identified with the homotopy fixed points and the Tate fixed points of the circle action on its Hochschild complex.

연구 동기 및 목표

• 호크스하우드 호모로지 위의 원의 작용을 통해 고전적 순환호모로지 이론과 등변 호모토피 이론 간의 관계를 명확히 하기.
• 음의 순환호모로지가 호크스하우드 복합체 위의 원의 작용에 대한 호모토피 고정점과 일치함을 증명함으로써 문헌에서의 빈도를 메우기.
• 주기적 순환호모로지가 동일한 작용에 대한 테이트 고정점과 동형임을 보여주어 순환호모로지의 등변 해석을 완성하기.
• 대칭 모노이드 $Υ$-범주에 값이 있는 $Υ$-범주로의 확장된 순환호모로지, 음의 순환호모로지, 주기적 순환호모로지의 고전적 정의를 $Υ$-범주로 일반화하여 고전적 구성과의 일致성을 확보하기.

제안 방법

• $Υ$-범주로의 대칭 모노이드 $Υ$-범주에 값이 있는 $∞$-범주의 맥락에서, 범주 $\mathcal{C}$로부터 순환 객체 $\mathcal{C}^{\natural}$을 구성하고, 그 기하적 실현이 호크스하우드 호모로지 $\mathrm{HH}(\mathcal{C})$를 얻는다.
• 호크스하우드 복합체 위의 표준적인 원의 작용은 콘네스의 순환 범주 $\Lambda$의 $∞$-군체 완성으로 모델링되며, $B\mathbb{T} \simeq \tilde{\Lambda}$로 식별되어 $\mathrm{HH}(\mathcal{C})$가 $\mathbb{T}$-작용을 갖게 된다.
• 기하적 실현과 호모토피 오빗 및 고정점 간의 관계를 설정하기 위해, 함자 $u_{\mathbb{T}} = i^*$, $(-)_{h\mathbb{T}} = p_!$, $(-)^{h\mathbb{T}} = p_*$를 사용한다.
• 연산자 $b$, $b'$, $N$, 및 $\mathrm{id}-t$를 사용하여 이중복합체 해상표를 구성하고, 이 이중복합체의 총복합체가 상수 $k$-모듈 $\underline{k}$를 준위사상으로 나타냄을 증명함으로써 핵심의 준위사상 동치를 확립한다.
• 쌍대 복합체의 코호모로지를 분석함으로써, 원의 작용에 대응하는 생성자 $\delta \in H^2(B\mathbb{T}, \mathbb{Z})$를 식별하고, 이를 $B$-연산자와 연결한다.
• 논문은 $\Lambda$의 구조 정리(모르피즘을 $\Delta$-모르피즘과 자명한 자기동형사상의 복합으로 표현)를 이용하여 호모로지 계산을 순환군 코호모로지로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콘네스의 $B$-연산자가 순환 $k$-모듈에서 호크스하우드 복합체의 기하적 실현 위의 표준적인 원의 작용과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 미분가군 범주에 대한 음의 순환호모로지를 그 호크스하우드 복합체 위의 원의 작용에 대한 호모토피 고정점으로 식별할 수 있는가?
• RQ3 미분가군 범주에 대한 주기적 순환호모로지는 그 호크스하우드 복합체 위의 원의 작용에 대한 테이트 고정점과 동형인가?
• RQ4 $∞$-범주 맥락에서 순환, 음의, 주기적 호모로지의 추상적 정의가 어떤 정도로 고전적 정의를 dg 범주에 대해 복원하는가?

주요 결과

• 순환 $k$-모듈 위의 $B$-연산자는 호크스하우드 복합체의 기하적 실현 위의 표준적인 원의 작용에 대한 모델이다.
• 음의 순환호모로지 $\mathrm{HN}(A)$는 호크스하우드 복합체 위의 원의 작용에 대한 호모토피 고정점 $\mathrm{HH}(A)^{h\mathbb{T}}$와 동형이다.
• 주기적 순환호모로지 $\mathrm{HP}(A)$는 동일한 작용에 대한 테이트 고정점 $\mathrm{HH}(A)^{t\mathbb{T}}$와 동형이다.
• 순환호모로지 $\mathrm{HC}(A)$는 호모토피 오빗 $\mathrm{HH}(A)_{h\mathbb{T}}$로 식별되며, 이는 기존의 알려진 결과를 새로운 관점에서 확인한다.
• 이중복합체 $K_{**}$의 총복합체는 상수 $k$-모듈 $\underline{k}$와 준위사상이며, 이는 해상표가 양의 차수에서 정확함을 증명한다.
• 생성자 $\delta \in H^2(B\mathbb{T}, \mathbb{Z})$는 $B$-연산자에 대응하며, 이는 원의 작용과 고전적 $B$-미분의 연결을 맺는다.