[논문 리뷰] The homotopy theory of type theories

Chris Kapulkin, Peter LeFanu Lumsdaine|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 29인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 항등형, Σ형, 단위형을 포함한 의도론적 유형 이론의 범주에 대해 왼쪽 반모델 구조를 수립하며, 이는 그들의 고차 범주적 구조를 호모토피 이론적으로 연구하기 위한 프레임워크를 제공한다. 이는 이러한 ∞-범주적 유형 이론에서의 내부 언어 추측을 정확히 기술할 수 있도록 해주는 ∞-함수를 정의한다. 이 ∞-함수는 이러한 유형 이론의 ∞-범주에서 적절하게 구조화된 쿠아시-범주( quasi-categories)의 ∞-범주로의 사상이다.

ABSTRACT

We construct a left semi-model structure on the category of intensional type theories (precisely, on $\mathrm{CxlCat_{Id,1,Σ(,Π_{ext})}}$). This presents an $\infty$-category of such type theories; we show moreover that there is an $\infty$-functor $\mathrm{Cl}_\infty$ from there to the $\infty$-category of suitably structured quasi-categories. This allows a precise formulation of the conjectures that intensional type theory gives internal languages for higher categories, and provides a framework and toolbox for further progress on these conjectures.

연구 동기 및 목표

• 의도론적 유형 이론이 ∞-범주에 대한 내부 언어임이라는 추측을 고차 범주적 프레임워크 안에서 정확히 기술하기 위한 호모토피 이론적 프레임워크를 제공하는 것.
• 의도론적 유형 이론의 범주에 대해, 특히 항등형, Σ형, 단위형(및 Π형)을 포함하는 문맥적 범주(category of contextual categories)에 대해 고차 범주적 구조—구체적으로 왼쪽 반모델 구조—를 수립하는 것.
• 해당 유형 이론의 ∞-범주에서 적절하게 구조화된 쿠아시-범주( quasi-categories)의 ∞-범주로 향하는 ∞-함수를 정의하는 것.
• 내부 언어 추측에 대한 향후 진전을 위한 기초를 마련하기 위해, 다루기 쉬운 명시적 모델 구조를 제공하는 것.

제안 방법

• 유형 이론의 모델로 문맥적 범주(CwAs)를 사용하며, 문법적 표현에 의존하지 않는다.
• CwA 내의 임의의 객체들 간의 동치성 개념을 도입함으로써, 유형 이론 내부에서 호모토피적 추론이 가능하게 한다.
• 주어진 CwA에서 스팬-동치성(span-equivalences)의 CwA를 구성함으로써, CwA 모델 간의 동치성을 구축하는 데 사용할 수 있는 도구를 제공한다.
• 등기성 사상의 쿠아시-범주에서의 동치성의 개념을 사용하여, 문맥적 범주의 범주 내에서 함자들 간의 오른쪽 호모토피를 정의한다.
• 섬김 범주 이론과 약한 분해 체계(weak factorization systems) 이론을 적용하여, 유형 이론의 범주에 대해 왼쪽 반모델 구조를 수립한다.
• 이론의 기준(보조정리 6.7)을 적용하여, 약한 동치, 피브레이션, 코피브레이션의 클래스가 왼쪽 반모델 구조의 공리들을 만족하는지 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 의도론적 유형 이론이 ∞-범주에 대한 내부 언어임이라는 추측은 고차 범주적 프레임워크 안에서 정확히 기술될 수 있는가?
• RQ2 항등형, Σ형, 단위형(및 Π형)을 포함하는 의도론적 유형 이론의 범주가, 그들의 고차 범주적 성격을 반영하는 호모토피 이론적 구조를 갖는가?
• RQ3 이러한 유형 이론의 ∞-범주에서 적절하게 구조화된 쿠아시-범주( quasi-categories)의 ∞-범주로 향하는 잘 정의된 ∞-함수가 존재하는가?
• RQ4 지정된 유형 형성자들을 갖는 문맥적 범주의 범주에 대해, 다루기 쉬운 표현을 제공하는 왼쪽 반모델 구조를 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 항등형, Σ형, 단위형(및 Π형)을 포함하는 문맥적 범주의 범주에 대해 왼쪽 반모델 구조가 수립되었으며, 이는 유형 이론의 고차 범주적 프레임워크를 제공한다.
• 이 모델 구조 내에서의 약한 동치, 피브레이션, 코피브레이션은 왼쪽 반모델 구조의 공리들을 만족하며, 분해 체계는 코피브런 도메인(cofibrant domains)으로 제한된다.
• 유형 이론의 ∞-범주에서 적절하게 구조화된 쿠아시-범주( quasi-categories)의 ∞-범주로 향하는 ∞-함수 Cl∞는 잘 정의되어 있으며, 이는 내부 언어 추측의 정확한 기술을 가능하게 한다.
• 이 구성은 CwA 내의 객체들 간의 새로운 동치 개념과 스팬-동치성의 CwA에 기반하며, 이는 유형 이론 간의 동치성을 구축하고 분석하는 데 사용되는 도구이다.
• 논문은 오른쪽 호모토피적 동치와 동치인 사상은 스스로도 동치임을 보이며, 코피브런 객체들 사이의 아노다인 맵(anodyne maps)은 약한 동치임을 보였다.
• 유형 이론의 범주 내에서 코피브런 객체들은 코피브레이션 범주(cofibration category)를 이룬다. 이는 호모토피적 분석에 대해 잘 정의된 부분 범주임을 시사한다.