[논문 리뷰] The Hopf algebra $Rep U_q \hat{gl}_\infty$

Edward Frenkel, E. Mukhin|ArXiv.org|2001. 03. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자 아핀 대수 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$의 유한차원 다항식 표현의 코호르모지어 군 위에 호프 대수 구조를 구축하며, $a \in \mathbb{C}^\times / q^{2\mathbb{Z}}$ 에 따라 인덱싱된 텐서곱으로 분해됨을 보여준다. 일반적인 $q$ 에서는 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 를 프루유니포텐트 프로대수적군 $\widetilde{SL}^-_\infty$ 상의 정칙 함수 대수와 동형으로 식별하고, 제곱근 단위에서의 경우 프로베니우스 역상의 기본 표현들을 $\widetilde{GL}^-_l$ 내의 행렬식과 연결하여 명시적인 공식을 도출한다.

ABSTRACT

We define the Hopf algebra structure on the Grothendieck group of finite-dimensional polynomial representations of $U_q \hat{gl}_N$ in the limit $N o \infty$. The resulting Hopf algebra $Rep U_q \hat{gl}_\infty$ is a tensor product of its Hopf subalgebras $Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$, $a\in\C^ imes/q^{2\Z}$. When $q$ is generic (resp., $q^2$ is a primitive root of unity of order $l$), we construct an isomorphism between the Hopf algebra $Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$ and the algebra of regular functions on the prounipotent proalgebraic group $SL_\infty^-$ (resp., $ ilde{GL}_l^-$). When $q$ is a root of unity, this isomorphism identifies the Hopf subalgebra of $Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$ spanned by the modules obtained by pullback with respect to the Frobenius homomorphism with the algebra generated by the coefficients of the determinant of an element of $ ilde{GL}_l^-$. This gives us an explicit formula for the Frobenius pullbacks of the fundamental representations. In addition, we construct a natural action of the Hall algebra associated to the infinite linear quiver (resp., the cyclic quiver with $l$ vertices) on $Rep_a U_q \hat{gl}_infty$ and describe the span of the tensor products of the evaluation representations taken at fixed points as a module over this Hall algebra.

연구 동기 및 목표

• 무한대 $N \to \infty$ 에서 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ 의 유한차원 다항식 표현의 코호르모지어 군 위에 호프 대수 구조를 정의하고 연구하는 것.
• $\operatorname{Rep} U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 를 $a \in \mathbb{C}^\times / q^{2\mathbb{Z}}$ 에 따라 인덱싱된 부분대수들의 텐서곱으로 분해하는 것. 이때 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 에 초점을 맞춘다.
• 일반적인 $q$ 에서는 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 와 프루유니포텐트 프로대수적군 $\widetilde{SL}^-_\infty$ 상의 정칙 함수 대수 사이의 동형을 확립하고, 제곱근 단위에서는 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 와 $\widetilde{GL}^-_l$ 상의 정칙 함수 대수 사이의 동형을 설정하는 것.
• 무한 선형 퀼러와 순환 퀄러에 관련된 할 환의 작용을 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 에서 기술하고, 평가 표현들의 텐서곱을 이러한 할 환의 모듈로서 특성화하는 것.

제안 방법

• 유한차원 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ 의 코호르모지어 군의 귀납적 극한을 통해 $N \to \infty$ 로 갈 때, 군 준동형사상 $GL_{N_1} \times GL_{N_2} \to GL_N$ 을 통한 텐서곱과 코곱의 구조를 유도하는 호프 대수의 구조를 상속한다.
• 일반적인 $q$ 에서는 $q$-특성 준동형사상과 기저 표현들이 슈어 다항식과 일치함을 통해 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 와 $\mathbb{Z}[\widetilde{SL}^-_\infty]$ 사이의 동형을 확립한다.
• 제곱근 단위에서는 프로베니우스 준동형사상이 표현을 역상으로 가져오며, 그 이미지는 타일러 급수 상의 $l \times l$ 행렬의 행렬식 계수와 연결되어 $\operatorname{Rep}_a U_\epsilon^{\rm res}\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 를 $\mathbb{Z}[\widetilde{GL}^-_l]$ 과 동형으로 식별한다.
• 할 환의 작용은 $\operatorname{Rep}_a U_\epsilon^{\rm res}\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ 의 귀납적 극한을 통해 구성되며, 고정점에서의 평가 표현들의 스트링은 무한 선형 퀄러 또는 $l$ 개의 정점이 있는 순환 퀄러의 할 환 모듈로 표현된다.
• 논문은 기저 표현들을 그들의 $q$-특성으로 매핑하는 $q$-특성 준동형사상 $\chi_q: \operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N \to \mathbb{Z}[\Lambda_{i,aq^{2n}}]$ 을 사용한다.
• 다양한 정수 형식의 포크 공간, 진공 모듈러의 쌍대, $\widetilde{SL}^-_\infty$, $\widetilde{GL}^-_l$, $\widetilde{SL}^-_l$ 상의 함수 대수 간의 관계를 나타내는 교환도(그림 12)를 구성하며, 모든 사상이 교환됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한대 $N \to \infty$ 로 갈 때, $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ 의 유한차원 다항식 표현의 코호르모지어 군은 어떻게 행동하며, 어떤 호프 대수 구조를 상속하는가?
• RQ2 일반적인 $q$ 에서 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 와 $\widetilde{SL}^-_\infty$ 상의 정칙 함수 대수 사이의 정확한 동형은 무엇인가?
• RQ3 제곱근 단위에서 프로베니우스 준동형사상은 기본 표현에 어떻게 작용하며, 타일러 급수 상의 행렬식 계수로 표현된 이미지는 무엇인가?
• RQ4 무한 선형 퀄러와 $l$ 개의 정점이 있는 순환 퀄러의 할 환은 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 에 어떻게 작용하며, 평가 표현들의 스트링은 어떤 방식으로 모듈로 구성되는가?
• RQ5 제곱근 단위에서 $q$-특성의 생성함수로부터, 임의의 적분 가능한 $\widehat{\mathfrak{sl}}_l$-모듈의 특성은 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 호프 대수 $\operatorname{Rep} U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 는 $q=1$ 일 때 대칭 함수 대수 $\Lambda_\infty$ 와 동형이며, 귀납적 극한 구조를 통해 양자군으로 일반화된다.
• 일반적인 $q$ 에서 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 는 프루유니포텐트 프로대수적군 $\widetilde{SL}^-_\infty$ 상의 정칙 함수 대수와 동형이며, 이 동형은 $q$-특성 준동형사상에 의해 유도된다.
• 만약 $q^2$ 가 $l$ 차 원분근이라면, $\operatorname{Rep}_a U_\epsilon^{\rm res}\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 는 $\mathbb{Z}[\widetilde{GL}^-_l]$ 과 동형이며, 기본 표현의 프로베니우스 역상은 타일러 급수 상의 $l \times l$ 행렬의 행렬식 계수와 일치한다.
• 고정점에서의 평가 표현들의 텐서곱 스트링은 무한 선형 퀄러(또는 $l$ 개의 정점이 있는 순환 퀄러)의 할 환 모듈로 구성되며, 이 작용은 귀납적 극한 구조를 통해 실현된다.
• 제곱근 단위에서의 $q$-특성의 생성함수 $\chi^{(l)}_{\boldsymbol{s}}(\xi)$ 는 주어진 중량 $\sum_{i=1}^k \varpi_{s_i}$ 를 가진 임의의 적분 가능한 $\widehat{\mathfrak{sl}}_l$-모듈의 특성과 일치하며, 그림 12의 교환도에 의해 추측되고 뒷받침된다.
• 그림 12의 교환도에서 다루는 정수 형식의 포크 공간, 진공 모듈러의 쌍대, $\widetilde{SL}^-_\infty$, $\widetilde{GL}^-_l$, $\widetilde{SL}^-_l$ 상의 함수 대수 간의 모든 사상은 교환됨을 증명하여 양자군의 이중성에 대한 일관된 프레임워크를 확립한다.