[논문 리뷰] The Hypervolume Indicator: Problems and Algorithms

Andreia P. Guerreiro, Carlos M. Fonseca외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 01.

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms참고 문헌 78인용 수 37

한 줄 요약

이 연구조사는 hypervolume 관련 계산 문제들, 그 관계들, 그리고 다목적 최적화에서 고정 차원에 대해 구현까지 갖춘 가장 빠른 알고리즘들을 검토합니다.

ABSTRACT

The hypervolume indicator is one of the most used set-quality indicators for the assessment of stochastic multiobjective optimizers, as well as for selection in evolutionary multiobjective optimization algorithms. Its theoretical properties justify its wide acceptance, particularly the strict monotonicity with respect to set dominance which is still unique of hypervolume-based indicators. This paper discusses the computation of hypervolume-related problems, highlighting the relations between them, providing an overview of the paradigms and techniques used, a description of the main algorithms for each problem, and a rundown of the fastest algorithms regarding asymptotic complexity and runtime. By providing a complete overview of the computational problems associated to the hypervolume indicator, this paper serves as the starting point for the development of new algorithms, and supports users in the identification of the most appropriate implementations available for each problem.

연구 동기 및 목표

• Hypervolume 관련 계산 문제들과 그들의 상호 관계에 대한 폭넓은 개요를 제시한다.
• 각 문제에 대한 주요 알고리즘을 요약하고 그들의 점근적 및 실행 시간 성능을 비교한다.
• 가장 빠르게 이용 가능한 구현을 식별하고 적절한 방법 선택에 대한 지침을 제공한다.
• 문제 구조가 알고리즘 설계에 미치는 영향을 강조하고 수치적 안정성에 대해 논의한다.
• Hypervolume 기반 최적화에서 벤치마킹 및 알고리즘 개발의 모범 사례를 촉진한다.

제안 방법

• Hypervolume 및 관련 양 quantities( hypervolume, contributions, joint contributions) 를 정의하고 형식화된 문제 모음(Problems 1–10)을 formalize 한다.
• 문제 간의 관계 및 문제 간의 감소를 설명하여 기존 알고리즘을 활용한다.
• hypervolume 문제를 해결하는데 사용되는 최신 패러다임과 기법들(예: inclusion-exclusion, dimension sweep)을 검토한다.
• 각 문제의 가장 빠른 알고리즘에 대한 요약을 제공하고 점근적 및 실용적 실행 시간 성능에 초점을 맞춘다.
• HSSP의 근사 보장에 대해 부분모듈성과 탐욕적 접근에 기초하여 논의한다.
• 수치적 안정성을 위한 구현 가능성 및 실용적 고려사항에 대한 지침을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원에서 hypervolume 기반 문제들(Hypervolume, AllContributions, HSSP 등) 간의 정확한 정의와 관계는 무엇인가?
• RQ2 각 hypervolume 관련 문제에 대한 가장 빠르게 알려진 알고리즘(정확 및 근사)은 무엇이며 실제로 어떻게 비교되는가?
• RQ3 효율적 해법을 활용하기 위해 어떻게 문제들을 서로 축소할 수 있는가?
• RQ4 HSSP를 근사 보장으로 가능하게 하는 이론적 성질(예: 단조성, 부분모듈성)은 무엇인가?
• RQ5 실무자가 하이퍼볼륨 계산에서 구현 및 수치적 안정성에 대해 어떤 지침을 받을 수 있는가?

주요 결과

• Hypervolume은 강력한 단조성 특성과 스케일링 불변성을 갖춘 널리 사용되는 집합 품질 지표이다.
• 하이퍼볼륨 문제들 간에 촘촘한 계산적 연계가 있어 감소를 통해 여러 문제를 해결할 수 있다.
• 일반적으로 많은 문제들이 #P-hard 또는 NP-hard이지만, 고정 차원 설정은 효율적 알고리즘을 가능하게 한다.
• HSSP는 부분모듈성의 이점을 받아들이며 탐욕적 접근에 대해 (1−1/e) 근사 보장을 가능하게 한다.
• 다양한 점근적 및 실용적 성능을 가진 알고리즘 모음이 존재하며, 본 논문은 이용 가능한 가장 빠른 옵션과 구현에 대한 지침을 제공한다.