[논문 리뷰] The improper infinite derivatives of Takagi's nowhere-differentiable function

Pieter C. Allaart, Kiko Kawamura|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 13.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 타카기의 전지수 미분 가능하지 않은 함수가 한쪽 방향으로 무한한 부정적 미분을 갖는 점들을 이 함수의 점의 이진 전개를 통해 완전히 특성화한다. 라데마흐 급수 표현을 활용하고 이전의 잘못된 기준을 보완함으로써, 이진 숫자 자릿리의 증가 속도를 포함한 정확한 조건을 도출하며, 양의 또는 음의 무한한 미분을 갖는 점들의 집합이 각각 하우스도르프 차원 1을 가짐을 보인다.

ABSTRACT

Let T be Takagi's continuous but nowhere-differentiable function. Using a representation in terms of Rademacher series due to N. Kono, we give a complete characterization of those points where T has a left-sided, right-sided, or two-sided infinite derivative. This characterization is illustrated by several examples. A consequence of the main result is that the sets of points where T'(x) is infinite have Hausdorff dimension one. As a byproduct of the method of proof, some exact results concerning the modulus of continuity of T are also obtained.

연구 동기 및 목표

• 베글과 에이어스가 잘못 주장한 바, 이진 숫자의 균형이 산산이 흩어지면 도함수가 무한하다고 주장했지만, 이를 수정하고 보완함으로써 타카기 함수의 무한 도함수 특성화를 정확하게 다듬는 것.
• 특히 좌측과 우측 도함수 행동 간의 비대칭성을 해결함으로써, 좌측 도함수 조건이 우측의 경우와 대칭적이지 않음을 보여주는 것.
• 구간 [0,1] 내에서 함수가 한쪽 또는 양쪽 방향으로 무한한 부정적 도함수를 갖는 모든 점들을 완전하고 엄밀하게 특성화하는 것.
• 최근 타카기 함수의 연속성 모듈러스에 관한 결과를 동일한 분석 프레임워크를 통해 확장하는 것.
• 양의 또는 음의 무한한 도함수를 갖는 점들의 집합이 각각 하우스도르프 차원 1을 가짐을 보이며, 이는 핵심적인 기하 측도론적 결과이자 중요한 기하적 성질임을 규명하는 것.

제안 방법

• 코노가 제안한 라데마흐 급수 표현을 활용하여 타카기 함수 T(x)를 라데마흐 함수를 포함하는 무한합으로 표현한다.
• 차분 몫의 행동을 분석하기 위해 합을 세 부분으로 나누어 각각 주요 항(Σ₁), 중간 항(Σ₂), 나머지 항(Σ₃)으로 분할하고, 각각의 추정치로 제어한다.
• x의 이진 전개에서 1의 위치를 나타내는 수열 {aₙ}과 0의 위치를 나타내는 수열 {bₙ}을 도입하여 도함수 조건을 표현한다.
• 특히 aₙ₊₁ − 2aₙ + 2n − log₂(aₙ₊₁ − aₙ) → −∞ 와 같은 표현을 포함한 점근적 분석을 통해 무한한 한쪽 방향 도함수를 위한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 밀도 정규성(density-regularity) 개념을 적용하여, d₁(x)의 존재성과 bₙ₊₁/bₙ 또는 aₙ₊₁/aₙ의 증가 조건을 통해 로그 모듈러스 연속성의 극한 존재성을 특성화한다.
• T(1−x) = T(x)의 대칭성을 활용하여 좌우 도함수 행동 간의 관계를 규명하고, 양방향으로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타카기 함수가 오른쪽으로 무한한 도함수를 갖기 위한 x의 이진 전개에 대한 정확한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 베글과 에이어스의 이전 주장이 실패하는 이유는 무엇이며, 무한한 부정적 도함수가 존재하기 위해 필요한 더 강력한 조건은 무엇인가?
• RQ3 좌측과 우측의 무한 도함수 조건은 어떻게 다를 수 있으며, 이러한 비대칭성의 원인은 무엇인가?
• RQ4 T'(x) = ±∞ 인 점들의 집합의 하우스도르프 차원은 얼마이며, 어떻게 이를 증명하는가?
• RQ5 lim_{h→0} (T(x+h)−T(x))/(h log₂(1/|h|))의 극한이 존재하는 조건은 무엇이며, 그 값은 얼마인가?

주요 결과

• 오른쪽 도함수 T′₊(x) = +∞이 되는 것은 aₙ − 2n → ∞일 때이고, 여기서 {aₙ}는 x의 이진 전개에서 1의 위치를 나타낸다.
• 좌측 도함수 T′₋(x) = +∞이 되는 것은 aₙ₊₁ − 2aₙ + 2n − log₂(aₙ₊₁ − aₙ) → −∞일 때이다.
• 오른쪽 도함수 T′₊(x) = −∞이 되는 것은 bₙ₊₁ − 2bₙ + 2n − log₂(bₙ₊₁ − bₙ) → −∞일 때이며, 여기서 {bₙ}는 x의 이진 전개에서 0의 위치를 나타낸다.
• 좌측 도함수 T′₋(x) = −∞이 되는 것은 bₙ − 2n → ∞일 때이다.
• T′(x) = +∞ 인 점들의 집합과 T′(x) = −∞ 인 점들의 집합 각각이 하우스도르프 차원 1을 가진다.
• lim_{h→0} (T(x+h)−T(x))/(h log₂(1/|h|))의 극한이 존재하는 것은 x가 밀도 정규성(density-regular)일 때이고, 그 경우 극한 값은 d₀(x) − d₁(x)와 같다. 여기서 d₀과 d₁은 이진 전개에서 0과 1의 자연 밀도를 각각 나타낸다.