[논문 리뷰] The independent set sequence of some families of trees

David Galvin, Justin Hilyard|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 09.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 경로에 주기적으로 부가적인 나무를 부착하거나 펜던트 간선을 많이 부착하여 생성된 나무의 여러 재귀적으로 정의된 가족에 대해 독립 집합 수열의 유일모양성(unimodality)을 확립한다. 생성 함수와 로그-볼록 다항식의 성질을 이용하여, 어떤 정점이나 모든 정점에 충분히 많은 펜던트 간선을 추가하면 독립 집합 수열이 유일모양이 됨을 증명하며, 이는 클로우-프리 그래프나 웰-코버드 트리 이외의 넓은 범위의 비-클로우-프리 트리에 대해 유일모양성을 해결하고 오랫동안 미해결이었던 문제에 진전을 이룬다.

ABSTRACT

For a tree $T$, let $i_T(t)$ be the number of independent sets of size $t$ in $T$. It is an open question, raised by Alavi, Malde, Schwenk and Erdős, whether the sequence $(i_T(t))_{t \geq 0}$ is always unimodal. Here we answer the question in the affirmative for some recursively defined families of trees, specifically paths with auxiliary trees dropped from the vertices in a periodic manner. In particular, extending a result of Wang and B.-X. Zhu, we show unimodality of the independent set sequence of a path on $2n$ vertices with $\ell_1$ and $\ell_2$ pendant edges dropped alternately from the vertices of the path, $\ell_1, \ell_2$ arbitrary. We also show that the independent set sequence of any tree becomes unimodal if sufficiently many pendant edges are dropped from any single vertex, or if $k$ pendant edges are dropped from every vertex, for sufficiently large $k$. This in particular implies the unimodality of the independent set sequence of some non-periodic caterpillars.

연구 동기 및 목표

• 1987년 알라비 등이 제기한 오랜 동안 미해결이었던 문제인 모든 트리의 독립 집합 수열이 유일모양인지 조사하는 것.
• 클로우-프리 그래프나 웰-코버드 트리 이외의 더 넓은 범위의 재귀적으로 구성된 트리 가족으로 알려진 유일모양성 결과를 확장하는 것.
• 펜던트 간선을 추가함으로써 독립 집합 수열이 유일모양이 되는 조건을 규명하는 것.
• 예를 들어 피보나치 트리와 같은 재귀적으로 정의된 트리 가족이 실근 성질(real-roots property)을 가지는지 탐색하는 것. 이 성질은 유일모양성을 암시한다.
• 특정 트리 구성에서 생성 함수와 계수 분석을 이용한 구조적 증명을 제공함으로써 유일모양성을 입증하는 것.

제안 방법

• 트리의 독립 다항식 $ p(G,x) = \sum_{t \geq 0} i_G(t) x^t $ 를 분석하며, 트리의 계수 수열에 초점을 맞춘다.
• 로그-볼록(LC+) 및 유일모양 수열의 개념을 적용하며, 실근을 가진 다항식은 LC+이자 따라서 유일모양임을 이용한다.
• n-연결 구조: 기저 그래프 $ G $ 의 n개 복제본을 경로 유사 연결로 연결하는 방법.
• 이항계수 $ \binom{n}{k} $ 의 점근적 분석을 통해 $ g(x)(1+x)^n $ 이 큰 $ n $ 에서 유일모양임을 보이며, 여기서 $ g(x) $ 는 양수 계수를 가진 다항식이다.
• LC+ 다항식의 곱셈 및 덧셈에 대한 닫힘 성질을 적용하여 생성 함수를 조합할 때 유일모양성이 유지됨을 보장한다.
• 각 정점에 $ k $ 개의 펜던트 간선을 추가하면 큰 $ k $ 에서 LC+ 다항식이 되므로 $ p(G_k, x) $ 에 대해 유일모양성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알라비 등이 1987년에 제기한 바와 같이, 모든 트리의 독립 집합 수열이 유일모양인지 여부는 무엇인가?
• RQ2 경로에 부가적인 나무를 주기적으로 부착하여 생성된 트리 가족의 경우에도 유일모양성이 성립하는가?
• RQ3 트리에 펜던트 간선을 추가할 때 어떤 조건에서 독립 집합 수열이 유일모양이 되는가?
• RQ4 피보나치 트리와 같은 재귀적으로 정의된 트리가 실근 성질을 가지는가? 이는 유일모양성을 암시한다.
• RQ5 특히 주기적이지 않은 경우를 포함해 모든 캣터필러(caterpillars)의 독립 집합 수열이 유일모양인지 여부는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $ \ell_1, \ell_2 \geq 1 $ 에 대해, 정점마다 번갈아가며 $ \ell_1 $ 및 $ \ell_2 $ 개의 펜던트 간선이 부착된 경로에 대해 독립 집합 수열이 유일모양임을 증명하며, 왕과 B.-X. 주의 결과를 일반화한다.
• 트리의 어떤 정점에 충분히 많은 펜던트 간선을 부착하면 독립 집합 수열이 유일모양이 된다.
• 트리의 모든 정점에 $ k $ 개의 펜던트 간선을 추가하면 충분히 큰 $ k $ 에 대해 독립 집합 수열이 유일모양이 되며, 이는 특정 주기적이지 않은 캣터필러에 대한 유일모양성을 암시한다.
• $ K_{1,k} $ 의 $ n $-연결 구조에서 중심을 특징점으로 삼을 때의 독립 다항식은 모든 $ k \geq 1 $ 에 대해 유일모양이며, 이는 이전 결과를 일반화한다.
• 피보나치 트리 $ F_n $ 의 독립 다항식은 모든 $ n $ 에 대해 실근 성질을 가지며, 이는 유일모양성을 암시한다. 이는 이전 초안에서 제기된 추측을 확인한다.