[논문 리뷰] The infinite unitary group, Howe dual pairs, and the quantization of constrained systems

N.P. Landsman|ArXiv.org|1994. 11. 23.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 41인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 히브르트 공간 $\mathcal{H}$ 에 대한 무한 단위군 $U_0(\mathcal{H})$ 의 기저가 없는 단위 표현을 기하적 양자화와 리에플 유도를 통해 재구성한다. 이는 하우 쌍과 심플렉틱 몫을 사용하여 이루어지며, Rieffel 유도를 통한 양자화가 킬릴로프-올샤니크의 표현을 재현함을 보여주지만, 반면 반형식 보정을 생략하거나 무게 이동을 수정할 경우에만 가능하다. 이는 제약 조건이 있는 시스템을 양자화할 때 잠재적인 장애를 드러낸다.

ABSTRACT

The irreducible unitary representations of the Banach Lie group $U_0(\H)$ (which is the norm-closure of the inductive limit $\cup_k U(k)$) of unitary operators on a separable Hilbert space $\H$, which were found by Kirillov and Ol'shanskii, are reconstructed from quantization theory. Firstly, the coadjoint orbits of this group are realized as Marsden-Weinstein symplectic quotients in the setting of dual pairs. Secondly, these quotients are quantized on the basis of the author's earlier proposal to quantize a more general symplectic reduction procedure by means of Rieffel induction (a technique in the theory of operator algebras). As a warmup, the simplest such orbit, the projective Hilbert space, is first quantized using geometric quantization, and then again with Rieffel induction. Reduction and induction have to be performed with either $U(M)$ or $U(M,N)$. The former case is straightforward, unless the half-form correction to the (geometric) quantization of the unconstrained system is applied. The latter case, in which one induces from holomorphic discrete series representations, is problematic. For finite-dimensional $\H=\C^k$, the desired result is only obtained if one ignores half-forms, and induces from a representation, `half' of whose highest weight is shifted by $k$ (relative to the naive orbit correspondence). This presumably poses a problem for any theory of quantizing constrained systems.

연구 동기 및 목표

• 무한 단위군 $U_0(\mathcal{H})$ 의 기저가 없는 단위 표현을 양자화 기법을 사용하여 재구성하는 것.
• 심플렉틱 축소와 Rieffel 유도가 코어지언트 오비트를 양자화된 공간으로 실현하는 데서 수행하는 역할를 조사하는 것.
• 제약 조건이 있는 시스템의 맥락에서 반형식 보정을 적용할 때 발생하는 양자화의 모순을 다루는 것.
• 무한차원 단위군에서 오비트와 표현 간의 대응 관계를 명확히 하는 것.
• 무한차원 리 군에 대한 이중 쌍 설정에서 Rieffel 유도의 강건성 테스트를 수행하는 것.

제안 방법

• 하우 이중 쌍 프레임워크 내에서 $U_0(\mathcal{H})$ 의 코어지언트 오비트를 마르스든-웨인스타인 심플렉틱 몫으로 실현하는 것.
• 표현 $U(M)$ 또는 $U(M,N)$ 을 입력으로 사용하여 이러한 심플렉틱 몫을 Rieffel 유도를 통해 양자화하는 것.
• 프로젝티브 힐베르트 공간의 기하적 양자화 결과와 Rieffel 유도 결과를 비교하는 것.
• 홀로모르픽 이산 계열 표현을 유도 데이터로 사용하며, 나이브 오비트 대응에 비해 무게 이동을 특히 분석하는 것.
• 기하적 양자화에서 반형식 보정의 영향을 분석하고, 그것이 원하는 표현 결과와의 불일치를 보이는 것.
• 또래 $U(M)$ 또는 $U(M,N)$ 과 함께 축소 및 유도를 수행하고, 두 경우 모두에서 일관성을 평가하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Rieffel 유도와 심플렉틱 축소를 통해 $U_0(\mathcal{H})$ 의 기저가 없는 단위 표현을 재구성할 수 있는가?
• RQ2 반형식 보정은 $U_0(\mathcal{H})$ 의 코어지언트 오비트를 양자화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 홀로모르픽 이산 계열 표현에서 유도를 수행할 때, 무게 이동을 적용하지 않으면 왜 정확한 표현을 재현하지 못하는가?
• RQ4 이중 쌍은 무한차원 설정에서 제약 조건이 있는 시스템의 양자화를 어떻게 지원하는가?
• RQ5 이러한 결과는 제약 조건이 있는 시스템을 일반적으로 양자화하는 데 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• $U_0(\mathcal{H})$ 의 코어지언트 오비트는 하우 이중 쌍 구성에 의해 심플렉틱 몫으로 실현된다.
• 프로젝티브 힐베르트 공간의 기하적 양자화는 기대하는 포크-바르그만 표현을 산출한다.
• 반형식 보정을 생략할 경우, $U(M)$ 에서의 Rieffel 유도는 정확한 표현을 재현한다.
• $U(M,N)$ 과 홀로모르픽 이산 계열을 사용할 경우, 나이브 대응에 비해 최고 무게를 $k$ 만큼 이동시켜야만 정확한 결과를 얻을 수 있다.
• 반형식 보정은 일관성에 문제가 있으며, 표준 기하적 양자화를 사용해 제약 조건이 있는 시스템을 양자화할 때 근본적인 장애가 있음을 시사한다.
• 무게를 수정하거나 반형식 보정을 생략하지 않으면 표현을 재현하지 못하는 것은 제약 조건이 있는 시스템을 위한 일반적 양자화 체계에 잠재적인 결함이 있음을 나타낸다.