[논문 리뷰] The influence of the coefficients of a system of coupled wave equations with fractional damping on its stabilization

Mohammad Akil, Mouhammad Ghader외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 30.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 44인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계에 Caputo 유형의 분수형 감쇠(순서 α ∈ (0,1))가 하나만 존재하는, 속도에 의해 연결된 두 개의 1차원 파동방정식으로 이루어진 시스템의 안정화를 조사한다. 주파수 도메인 접근법과 다중법을 결합하여, 결합 매개변수 b, 파동 속도 비율 a, 그리고 분수형 감쇠 순서 α에 따라 결정되는 최적의 다항식 에너지 감쇠 속도를 확립한다. 주요 결과는 파동 속도가 동일한 경우(a=1)에, b ∉ πℤ 이면 감쇠 속도가 t⁻²⁄⁽¹⁻ᵃ⁾이며, b ∈ πℤ 이면 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾임을 보여준다. 파동 속도가 다를 경우, 다양한 a와 b에 대한 조건 하에서 감쇠 속도는 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾이다.

ABSTRACT

In this work, we consider a system of two wave equations coupled by velocities in one-dimensional space, with one boundary fractional damping. First, we show that the system is strongly asymptotically stable if and only if the coupling parameter b of the two equations is outside a discrete set of exceptional real values. Next, we show that our system is not uniformly stable. Hence, we look for a polynomial decay rate for smooth initial data. Using frequency domain approach combining with multiplier method, we prove that the energy decay rate is greatly influenced by the nature of the coupling parameter b, the arithmetic property of the ratio of the wave propagation speeds a, the order of the fractional damping. Indeed, under the equal speed propagation condition, we establish an optimal polynomial energy decay rate. Furthermore, when the wave propagate with different speeds, under some arithmetic conditions on the ratio of the wave propagation speeds, we prove that the energy of our system decays polynomially to zero.

연구 동기 및 목표

• 결합 매개변수 b, 파동 속도 비율 a, 분수형 감쇠 순서 α 등의 계수들이 속도에 의해 연결된 두 파동방정식 시스템의 안정화에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 오직 한 경계에 분수형 감쇠만 존재할 경우, 시스템이 균일한지 또는 다항식 에너지 감쇠 뿐인지 판단하는 것.
• 다양한 조건 하에서 부드러운 초기 데이터의 에너지에 대한 최적의 다항식 감쇠 속도를 확립하는 것.
• √a의 산술적 성질(유리수 대비 무리수)과 b의 크기(작을 경우)가 감쇠 속도에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 기존의 스칼라 분수형 감쇠 파동방정식 결과를 간접 감쇠를 가진 더 복잡한 결합 시스템의 경우로 확장하는 것.

제안 방법

• 시스템의 생성자에 대한 해석적 성장 분석을 통해 스펙트럼 성질과 장기적 에너지 감쇠를 연결하는 주파수 도메인 접근법을 사용한다.
• 에너지 추정과 경계 항 제어, 특히 x=1에서의 분수도함수 항을 제어하기 위해 다중법을 적용한다.
• 리에즈 기저 성질과 스펙트럼 분석을 통해 시스템의 연산자에 대한 고유값과 고유함수를 특성화한다.
• 균일한 감쇠를 배제하고 다항식 감쇠를 증명하기 위해 리만-레베그 보조정리와 디오판틴 근사법을 활용한 모순 추론을 수행한다.
• 결합 항을 다루고 주파수 도메인에서 에너지 진동을 제어하기 위해 매개변수에 의존하는 다중법을 도입한다.
• 특히 허수축 근처에서 복소평면에서의 해석적 성장의 점근적 행동을 분석하여 감쇠 추정을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결합 매개변수 b에 대해 어떤 조건이면, 분수형 감쇠가 있는 결합 파동방정식 시스템이 강하게 점근적으로 안정적인가?
• RQ2 왜 시스템은 균일(지수적)으로 안정되지 않으며, 에너지의 다항식 감쇠 속도는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 파동 전파 속도 비율 a가 에너지 감쇠 속도에 미치는 영향는 무엇이며, 특히 a ≠ 1일 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 √a의 산술적 성질(유리수 또는 거의 모든 무리수)이 감쇠 속도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 a가 유리수이지만 √a가 무리수일 경우, 결합 매개변수 b의 크기가 감쇠 속도에 어떻게 영향을 주는가?

주요 결과

• 시스템은 결합 매개변수 b가 πℤ의 이산 집합에 속하지 않을 경우에만 강하게 점근적으로 안정하다.
• 시스템은 균일하게 안정하지 않으며, 에너지는 다항식으로 감쇠되며 지수적으로 감쇠되지 않는다.
• 파동 속도가 동일한 경우(a=1), b ∉ πℤ 이면 최적의 에너지 감쇠 속도는 t⁻²⁄⁽¹⁻ᵃ⁾이며, b ∈ πℤ 이면 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾이다.
• 파동 속도가 다를 경우(a ≠ 1), 모든 유리수 √a 및 거의 모든 무리수 √a에 대해 에너지는 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾로 감쇠된다.
• a ∈ ℚ 이고 √a ∉ ℚ 이며 b가 충분히 작을 경우, 감쇠 속도는 여전히 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾이다.
• 제시된 조건 하에서 감쇠 속도 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾는 최적이며, 나머지 경우에서는 더 느린 감쇠가 발생할 것이라고 논문은 추측한다.