[논문 리뷰] The injectivity radius of hyperbolic surfaces and some Morse functions over moduli spaces

Matthieu Gendulphe|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 09.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초등형 표면 위의 고정된 점에서 출발하는 지측선 고리의 사이클 길이에 대한 변분 연구를 수행하며, 테이히müller 공간 위에서 모어스 이론적 프레임워크를 도입한다. 사이클 길이 함수의 임계점을 규명하여, 비퇴화 임계점이 표면을 정규 다각형으로 분할하는 메트릭과 대응됨을 보이고, 국소 최댓값이 유일하고 전역적으로 최적임을 증명하며, 보바르드와 데블와의 이전 사이클 길이 부등식을 보나혼의 층상 좌표와 헤시안 분석을 통해 일반화한다.

ABSTRACT

This article is devoted to the variational study of two functions defined over some Teichmueller spaces of hyperbolic surfaces. One is the systole of geodesic loops based at some fixed point, and the other one is the systole of arcs.\par For each of them we determine all the critical points. It appears that the systole of arcs is a topological Morse function, whereas the systole of geodesic loops have some degenerate critical points. However, these degenerate critical points are in some sense the obvious one, and they do not interfere in the variational study of the function.\par At a nondegenerate critical point, the systolic curves (arcs or loops depending on the function involved) decompose the surface into regular polygons. This enables a complete classification of these points, and some explicit computations. In particular we determine the global maxima of these functions. This generalizes optimal inequalities due to Bavard and Deblois. We also observe that there is only one local maximum, this was already proved in some cases by Deblois.\par Our approach is based on the geometric Vorono\''i theory developed by Bavard. To use this variational framework, one has to show that the length functions (of arcs or loops) have positive definite Hessians with respect to some system of coordinates for the Teichm\''uller space. Following a previous work, we choose Bonahon's shearing coordinates, and we compute explicitly the Hessian of the length functions of geodesic loops. Then we use a characterization of the nondegenerate critical points due to Akrout.

연구 동기 및 목표

• 초등형 표면 위의 고정된 점에서 출발하는 지측선 고리의 사이클 길이에 대한 변분 프레임워크를 개발한다.
• 표시된 점이 있는 테이히müller 공간 위에서 이 사이클 길이 함수의 임계점을 특성화한다.
• 사이클 길이 함수가 위상적 모어스 함수가 되는 조건을 규명하고, 비퇴화 및 퇴화 임계점을 분류한다.
• 보바르드와 데블와의 최적 사이클 길이 부등식을 일반화하기 위해 사이클 길이 함수의 전역 최댓값을 계산한다.

제안 방법

• 논문은 테이히müller 공간을 매개변수화하고 지측선 고리의 길이 함수의 헤시안을 계산하기 위해 보나혼의 층상 좌표를 사용한다.
• 기하학적 보로노이 이론과 아크루트의 비퇴화 임계점 특성화를 적용하여 사이클 길이 함수의 임계 구조를 분석한다.
• 비퇴화 임계점에서 사이클 길이 고리에 의한 표면의 정규 다각형 분할을 분석함으로써 위상적 분류를 가능하게 한다.
• 퇴화 임계점은 정확히 기저점을 통과하는 닫힌 지측선을 포함하는 사이클 길이 고리가 존재할 때 발생하며, 이를 집합 Sing(S,p)로 구성한다.
• 활에 대한 벗기기 방법을 사용하여, 정규 다각형이 아닌 분할은 엄밀한 국소 최솟값을 유도할 수 없음을 보이며, 임계점의 유일성을 뒷받침한다.
• 저자들은 사이클 길이 함수가 밀도가 높고 열린 부분집합 Teich(S,p) − Sing(S,p)에서 위상적 모어스 함수임을 증명하며, 임계점의 지수는 사이클 길이 고리의 수에 의해 결정됨을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초등형 표면 위의 고정된 점에서 출발하는 지측선 고리의 사이클 길이의 임계점은 무엇인가?
• RQ2 언제 사이클 길이 함수가 위상적 모어스 함수가 되며, 언제 퇴화된 임계점을 보이는가?
• RQ3 비퇴화 임계점에서 기저점에서 출발하는 사이클 길이 고리는 표면을 어떻게 분할하는가?
• RQ4 사이클 길이 함수의 전역 최댓값은 무엇이며, 유일한가?
• RQ5 사이클 길이 함수는 최대 임의성 반경과 표준 사이클 길이와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 사이클 길이 함수 sys_p의 퇴화 임계점 집합은 정확히 Sing(S,p)이며, 이는 적어도 하나의 사이클 길이 고리가 기저점에서 출발하는 닫힌 지측선인 메트릭으로 구성된다.
• 밀도가 높고 열린 부분집합 Teich(S,p) − Sing(S,p)에서 사이클 길이 함수 sys_p는 비퇴화 임계점이 있는 위상적 모어스 함수이다.
• 비퇴화 임계점에서 기저점에서 출발하는 사이클 길이 고리는 표면을 정규 다각형으로 분할하며, 임계점의 지수는 이러한 고리의 수에서 1을 뺀 값과 같다.
• sys_p의 전역 최댓값은 유일하며, 사이클 길이 고리가 표면을 정삼각형과 하나의 구멍이 있는 단각형으로 나누는 경우에 실현된다.
• 전역 최댓값에서 사이클 길이 함수의 값은 오직 하나의 양의 해를 가지며, 오일러 지표, 경계 길이, 그리고 역双곡함수를 포함하는 삼각함수 방정식의 해이다.
• 논문은 국소 최댓값이 전역 최댓값임을 확인하며, 데블와의 결과를 점별 사이클 길이 함수로 확장한다.