[논문 리뷰] The Integral of the Riemann xi-function

Jeffrey C. Lagarias, David Montague|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 21.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리만 시그마 함수의 적분인 $\xi^{(-1)}(s) = \int_{1/2}^s \xi(w)\,dw$를 조사하여, 임의의 임계선 위에 정확히 하나의 영점이 존재하고, 임계선 외부에는 무한히 많은 영점이 있으며, 디 브루이jn-뉘이먼 상수의 무한한 유사체를 도입한다. 이 연구는 푸리에 적분 표현과 함수 방정식을 사용하여 $\xi^{(-1)}(s)$와 관련된 일파라미터 함수 집합의 영점 분포를 분석한다.

ABSTRACT

This paper studies the integral of the Riemann xi-function. More generally, it studies a one-parameter family of functions given by Fourier integrals and satisfying a functional equation. Members of this family are shown to have only finitely many zeros on the critical line, with the integral of the Riemann xi-function having exactly one zero on the critical line, at s = 1/2. The zeros of the integral of the xi-function are shown to lie arbitrarily far away from the critical line. An analogue of the de Bruijn-Newman constant is introduced for this family, and shown to be infinite.

연구 동기 및 목표

• 리만 시그마 함수의 적분인 $\xi^{(-1)}(s)$의 영점 분포를 분석하며, 특히 임계선 $\mathrm{Re}(s) = \frac{1}{2}$에 대한 위치를 다룬다.
• 푸리에 적분으로 정의된 일파라미터 함수 집합에 대해 디 브루이jn-뉘이먼 상수의 프레임워크를 확장하고, 그 행동을 규명한다.
• $\xi^{(-1)}(s)$ 및 관련 함수가 임계선 위에 유한한 수의 영점만을 가지는지 조사하고, 그 영점 위치가 리만 추측과 어떻게 관련되어 있는지 탐구한다.
• $\xi^{(-1)}(s)$의 점근적 행동과 영점의 구조적 성질을 탐색하며, 그 순서와 간격 패턴을 포함한다.

제안 방법

• 적분을 정의하여 $\xi^{(-1)}(s) = \int_{1/2}^s \xi(w)\,dw$로 하며, 이는 함수 방정식 $\xi^{(-1)}(s) = -\xi^{(-1)}(1-s)$를 만족한다.
• 푸리에 적분 표현 $\Xi^{(-1)}(z) = 2\int_0^\infty \Phi(u)\frac{\sin zu}{u}\,du$를 사용하며, 여기서 $\Phi(u)$는 시그마 함수로부터 유도된 급속 감소 함수이다.
• 일파라미터 함수 집합 $\Xi_\lambda(z)$를 $\Xi_\lambda(z) = 2\int_0^\infty e^{\lambda u^2}\Phi(u)\cos zu\,du$로 정의하여 원래의 $\Xi(z)$를 일반화한다.
• 특히 제1사분면에서 수치 계산과 점근적 분석을 통해 $\xi^{(-1)}(s)$ 및 $\xi^{(-1)}(s) - iA_0$의 영점 집합을 분석한다.
• 이 집합에 대한 디 브루이jn-뉘이먼 상수의 유사체가 무한하다는 것을 입증하여, 변형에 의해 복소수 영점이 피할 수 없음을 의미한다.
• 영점 분포 분석을 용이하게 하기 위해 실수축에서 실수 값을 가지도록 하는 스케일링 $\Xi^{(-1)}(z) = -i\xi^{(-1)}(\frac{1}{2} + iz)$를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\xi^{(-1)}(s)$는 임계선 위에 정확히 유한한 수의 영점만을 가지는가? 만약 그렇다면 그 수는 얼마인가?
• RQ2 $\xi^{(-1)}(s)$의 영점 중에서 임계선으로부터 무한히 멀리 떨어져 있는 영점이 존재하는가?
• RQ3 이 함수 집합에 대해 디 브루이jn-뉘이먼 상수를 일반화할 수 있으며, 그 값은 얼마인가?
• RQ4 $\xi^{(-1)}(s)$의 영점의 점근적 분포는 어떠한가? 그리고 이들은 매끄러운 곡선을 따라 분포하는가, 아니면 GUE 유사 변동을 보이는가?
• RQ5 제1사분면에서 영점의 허수부가 단조증가하는 것이, 도함수 $\xi(s)$의 모든 영점이 임계선 위에 있음을 의미하는가?

주요 결과

• 함수 $\xi^{(-1)}(s)$는 정확히 하나의 영점을 임계선 위에 가지며, 그 위치는 $s = \frac{1}{2}$이다.
• 임계선으로부터 무한히 멀리 떨어져 있는 영점이 존재하며, 이는 비한정적인 이격을 의미한다.
• 이 함수 집합에 대한 디 브루이jn-뉘이먼 상수의 유사체는 무한하다. 이는 변형 과정에서 복소수 영점이 항상 존재함을 의미한다.
• 수치적 데이터는 제1사분면에서 첫 500개의 $\xi^{(-1)}(s)$ 영점이 약간의 곡선 위에 근사적으로 위치해 있음을 보여주며, 이는 규칙적인 점근적 구조를 시사한다.
• $A_0 \approx 2.80668$일 때 함수 $\xi^{(-1)}(s) - iA_0$는 하부 반평면에서 임계선 위에 유한한 수의 영점만을 가지며, 높이 $T=160$에서 약 1/3의 영점이 임계선 위에 있다.
• $\xi^{(-1)}(s)$의 영점 간격은 매우 규칙적으로 보이며, 첫 500개의 영점에서는 zeta 함수의 간격과는 달리 GUE 유사 변동이 눈에 띄지 않는다.