[논문 리뷰] The integrality conjecture and the cohomology of preprojective stacks

Ben Davison|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 22인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 3-카라비-유우 완비화의 코homological 도널드슨-타이너 이론을 통해 전프로젝티브 대수의 표현 스택에 대한 보렐-무어 호모로지의 순수성을 확립한다. BPS 호모로지의 순수성과 혼합 허지 모듈 값 BPS 층의 구축을 통해 정수성 정리, 제한된 카크 다항식의 양의 성질을 증명하고, 힐베르트 스킴과 특성 스택의 임계 호모로지의 계산을 수행한다.

ABSTRACT

We study the Borel-Moore homology of stacks of representations of preprojective algebras $Π_Q$, via the study of the DT theory of the undeformed 3-Calabi-Yau completion $Π_Q[x]$. Via a result on the supports of the BPS sheaves for $Π_Q[x]$-mod, we prove purity of the BPS cohomology for the stack of $Π_Q[x]$-modules, and define BPS sheaves for stacks of $Π_Q$-modules. These are mixed Hodge modules on the coarse moduli space of $Π_Q$-modules that control the Borel-Moore homology and geometric representation theory associated to these stacks. We show that the hypercohomology of these objects is pure, and thus that the Borel-Moore homology of stacks of $Π_Q$-modules is also pure. We transport the cohomological wall-crossing and integrality theorems from DT theory to the category of $Π_Q$-modules. Among these and other applications, we use our results to prove positivity of a number of "restricted" Kac polynomials, determine the critical cohomology of $\mathrm{Hilb}_n(\mathbb{A}^3)$, and the Borel-Moore homology of genus one character stacks, as well as various applications to the cohomological Hall algebras associated to Borel-Moore homology of stacks of preprojective algebras, including the PBW theorem, and torsion-freeness.

연구 동기 및 목표

• 코homological 도널드슨-타이너 이론에 대한 전프로젝티브 대수의 정수성 추측을 확립하기 위해.
• BPS 층과 3-카라비-유우 완비화를 이용하여 Π_Q-모듈의 스택에 대한 보렐-무어 호모로지의 순수성을 증명하기 위해.
• Π_Q-모듈의 계수 모듈리 공간 위에서 혼합 허지 모듈로서 BPS 층을 정의하고 연구하기 위해.
• DT 이론에서의 코homological 월-크로싱 및 정수성 정리를 Π_Q-모듈의 범주로 이행하기 위해.
• 이 결과들을 적용하여 Π_n(Α^3)의 임계 호모로지를 계산하고, 코homological 할 알제브라에 대한 토퍼션-프리니스 및 PBW 정리를 규명하기 위해.

제안 방법

• 전프로젝티브 대수 Π_Q의 3-카라비-유우 완비화 Π_Q[x]를 사용하여 코homological DT 이론을 통해 보렐-무어 호모로지를 연구하기 위해.
• Π_Q[x]-모듈에 대한 BPS 층의 지지부를 분석하여 Π_Q[x]-모듈에 대한 BPS 호모로지의 순수성을 증명하기 위해.
• Π_Q-모듈의 계수 모듈리 공간 위에서 혼합 허지 모듈로서 BPS 층을 구축하여 그들의 보렐-무어 호모로지를 제어하기 위해.
• DT 이론에서의 코homological 월-크로싱 및 정수성 정리를 Π_Q-모듈의 범주에 적용하기 위해.
• 차원 감소를 활용하여 3CY 완비화를 통해 Π_Q-모듈의 호모로지와 Π_Q[x]-모듈의 호모로지를 연결하기 위해.
• 등변 호모로지와 셔플 대수의 구조를 활용하여 코homological 할 알제브라에서의 토퍼션-프리니스 및 PBW 정리를 분석하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Π_Q-모듈의 스택에 대한 보렐-무어 호모로지는 정수성 추측이 예측한 바와 같이 순수한가?
• RQ2 Π_Q-모듈의 계수 모듈리 공간 위에서 BPS 층을 혼합 허지 모듈로서 정의할 수 있는가?
• RQ3 Π_n(Α^3)의 임계 호모로지는 비임계 차수에서 영이 되는가, 그리고 그 구조는 어떠한가?
• RQ4 Π_Q-모듈과 관련된 코homological 할 알제브라의 토퍼션이 자유인가, 그리고 PBW 정리를 만족하는가?
• RQ5 Π_Q-모듈에 대한 제한된 카크 다항식의 계수들이 양의 성질을 갖는가?

주요 결과

• Π_Q-모듈의 스택에 대한 보렐-무어 호모로지는 구성된 BPS 층의 초호모로지가 순수하므로 순수하다.
• Π_Q-모듈에 대한 BPS 층은 계수 모듈리 공간 위에서 혼합 허지 모듈로서 정의되어 보렐-무어 호모로지를 제어한다.
• Π_n(Α^3)의 임계 호모로지는 3CY 완비화에 적용된 순수성 및 정수성 정리를 통해 계산된다.
• Π_Q-모듈에 대한 제한된 카크 다항식의 계수들이 양의 성질을 갖는 것으로 밝혀져 추측을 확인한다.
• 코homological 할 알제브라 τ_{Π_Q}는 토퍼션-프리이며, 자연스러운 사상이 일반적으로 단사적이지 않다.
• 코homological 할 알제브라의 Π_Q-모듈에 대해 PBW 정리가 순수성과 월-크로싱 기법을 통해 성립한다.