[논문 리뷰] The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 10: the digamma function

Luis A. Medina, Victor H. Moll|ArXiv.org|2007. 09. 21.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 4인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 감마 및 다이감마 함수의 적분 표현과 성질을 사용하여 그라드슈타인과 리즈히크의 정적분에서 다이감마 함수 ψ(x)를 포함하는 해석적 평가를 수행한다. 주요 결과로 ∫₀^∞[e⁻ˣ − (1+x)⁻ᵃ]/x dx = ψ(a)를 유도하고, 거기에 거듭제곱 및 로그 항을 포함하는 적분의 가족으로 확장하여 특수 함수와 상수 γ 및 π와 연결한다.

ABSTRACT

Many integrals in the classical table by Gradshteyn and Ryzhik can be evaluated in terms of the digamma function (= the logarithmic derivative of the gamma function). Some of them are presented here.

연구 동기 및 목표

• 그라드슈타인과 리즈히크의 다이감마 함수 ψ(x)를 포함하는 정적분을 체계적으로 평가하는 것.
• 지수 함수와 유리 함수를 사용하여 ψ(a)의 새로운 적분 표현을 수립하는 것.
• 이러한 적분을 오일러-마스케로니 상수 γ 및 π와 같은 알려진 특수 함수와 상수와 연결하는 것.
• 거듭제곱, 로그, 베타 함수를 포함하는 적분의 가족으로 결과를 확장하는 것.
• 불완전 베타 함수를 사용하여 (1+x)⁻¹ 항을 포함하는 적분의 향후 평가를 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• Frullani 유형의 적분 ∫₀^∞(e⁻ᶻ − e⁻ˢᶻ)/z dz = ln s 를 사용하여 ∫₀^∞[e⁻ˣ − (1+x)⁻ᵃ]/x dx = ψ(a) 를 유도한다.
• Γ′(a) = ∫₀^∞ e⁻ˢ sᵃ⁻¹ ln s ds 라는 적분 표현을 적용하고 적분 순서를 바꿔 ψ(a)와 관련지어 분석한다.
• ∫₀^∞(e⁻ᶻ − e⁻ˢᶻ)/z dz = ln s 라는 항등식을 사용하여 지수 함수와 유리 함수의 차이를 평가한다.
• w = −ln x, t = 1/(x+1), u = xᵖ 등의 변수 변경을 적용하여 적분을 알려진 형태로 변환한다.
• 베타 함수와 그 로그 도함수를 사용하여 (1−x)ᵇ⁻¹ 또는 (1−x²)ⁿ⁻¹ 항을 포함하는 적분을 평가한다.
• ψ(x)와 Γ(x)의 반사 및 중복 공식을 적용하며, ψ(1/2) = −γ − 2ln 2 및 ψ(1) = −γ 등을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 함수 e⁻ˣ 와 유리 함수 (1+x)⁻ᵃ 를 포함하는 정적분을 통해 다이감마 함수 ψ(a)는 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 Euler-マ스케로니 상수 γ 에 대해 ∫₀^∞(e⁻ˣᵖ − e⁻ˣʲ)/x dx 의 해석적 평가는 무엇인가?
• RQ3 변수 변경이 (1+x)⁻ᵃ 를 포함하는 적분을 베타 함수와 관련된 형태로 어떻게 변환하는가?
• RQ4 형태가 ∫₀¹ xᵃ⁻¹ ln(1−x) dx 인 적분과 다이감마 함수 사이의 연결 고리는 무엇인가?
• RQ5 두 매개변수 가족 ∫₀^∞(e⁻ˣᵃ − 1/(1+xᵇ))/x dx 는 b에 관계없이 독립적으로 평가될 수 있으며, 그 값은 얼마인가?

주요 결과

• a > 0 인 경우 ∫₀^∞[e⁻ˣ − (1+x)⁻ᵃ]/x dx = ψ(a) 는 다이감마 함수의 기본 표현을 제공한다.
• 특수 케이스 a = 1 을 통해 ∫₀^∞(e⁻ˣ − 1/(1+x))/x dx = −γ 를 도출하며, 이는 공식 3.435.3 와 대응한다.
• 항등식 ∫₀^∞(e⁻ˣᵖ − e⁻ˣʲ)/x dx = (p−q)/(pq) γ 가 도출되며, p = q = 2 일 때 ∫₀^∞(e⁻ˣ² − e⁻ˣ²)/x dx = 0 이다.
• ∫₀^∞(e⁻ˣᵃ − 1/(1+xᵇ))/x dx 에 대해서는 결과가 −γ/a 로 b에 독립적이며, Proposition 11.1 에서 이를 입증하였다.
• ∫₀¹ ln x / √[ⁿ](1−x²ⁿ) dx = −π/8 ⋅ B(1/(2n), 1/(2n)) / (n² sin(π/(2n))) 라는 평가가 도출되었으며, 이는 공식 4.247.1 과 일치한다.
• ∫₀^∞ x e⁻ˣ (1−e⁻²ˣ)ⁿ⁻¹ᐟ² dx 는 (π/2²ⁿ⁺²) ⋅ (2ⁿ 선택 n) ⋅ (2ln 2 + ∑ₖ₌₁ⁿ 1/k) 로 평가되며, 이는 3.457.1 과 대응한다.