[논문 리뷰] The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 5: Some trigonometric integrals

Tewodros Amdeberhan, Luis A. Medina외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 16.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 그라드슈타이니와 리즈히크의 항목 3.761.11과 3.822.1을 일반화하여, $\int_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$ 및 $\int_0^{\pi/2} x^p \sin^n x\,dx$ 형태의 정적분에 대해 닫힌 형태의 평가와 엄밀한 증명을 제공한다. 재귀 관계를 유도하고 결과를 다중 제타 값과 특수 함수로 표현하며, 매개수 미분과 적분 변환을 통해 $x^{-p}\cos^{2n+1}(x+b)$를 포함한 무한 구간 적분으로까지 확장한다.

ABSTRACT

We present evalauations and provide proofs of definite integrals involving the function x^p cos^n x. These formulae are generalizations of 3.761.11 and 3.822.1, among others, in the classical table of integrals by I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik.

연구 동기 및 목표

• 그라드슈타이니와 리즈히크에 기재된 삼각법 적분에 대해 엄밀한 증명과 배경을 제공하며, 특히 항목 3.761.11과 3.822.1을 중심으로 한다.
• 재귀 관계를 사용하여 $n,p \in \mathbb{N}$ 인 경우 $\int_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$ 및 $\int_0^{\pi/2} x^p \sin^n x\,dx$의 평가를 일반화한다.
• 매개수 미분과 적분 변환을 통해 $\int_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$ 형태의 무한 구간 적분으로 결과를 확장한다.
• 다중 로그 및 삼각법 적분을 포함한 새로운 평가를 유도한다. 예를 들어 $\int_0^\infty \int_0^\infty \frac{\log x \log y}{\sqrt{xy}} \cos(x+y)\,dx\,dy$와 같은 형태.

제안 방법

• 부분 적분과 삼각항등식을 사용하여 $c(n,p) = \int_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$에 대한 재귀 관계를 유도한다.
• 초기 조건 $c(n,0)$, $c(n,1)$, $c(0,p)$, $c(1,p)$를 월리스 공식, 베타 함수, 감마 함수 항등식을 사용하여 표현한다.
• WZ 기술을 활용하여 이중 계수와 역거듭제곱의 합을 포함한 폐쇄형 표현에 필요한 조합 항등식을 검증한다.
• 매개수 미분을 적용하여 $\log x$ 및 $\log y$가 포함된 이중 적분과 같은 새로운 적분을 생성한다.
• $x = t^2$를 통한 변환을 통해 유한 구간 적분을 프레넬 유형 함수와 일반화된 삼각법 적분으로 연결한다.
• 푸리에 유형 적분과 감마 함수에 대한 기존 결과를 활용하여 $\int_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$ 및 $\int_0^\infty x^{-p} \sin^{2n+1}(x+b)\,dx$의 평가를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 $n,p \in \mathbb{N}$ 인 경우 $\int_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$를 닫힌 형태로 평가할 수 있는가?
• RQ2 c(n,p)와 s(n,p)의 행동을 지배하는 재귀 관계는 무엇이며, 이를 통해 고차수 적분을 초기 조건으로 줄일 수 있는가?
• RQ3 일반화된 적분 $\int_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$ 및 $\int_0^\infty x^{-p} \sin^{2n+1}(x+b)\,dx$는 특수 함수와 다중 제타 값과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 매개수 $p$와 $b$에 대해 적분 표현식을 미분함으로써 어떤 새로운 평가가 도출되는가?
• RQ5 다음과 같은 고차원 적분 $\cos(\|x\|^2)$ 및 $\log x_j$를 포함하는 $n$차원 적분은 유도된 방법을 통해 평가할 수 있는가?

주요 결과

• 재귀 관계 $c(n,p) = \frac{n-1}{n}c(n-2,p) - \frac{p(p-1)}{n^2}c(n,p-2)$는 $n,p \in \mathbb{N}$ 인 경우 $c(n,p)$를 초기 값으로 줄일 수 있다.
• 월리스 공식을 통해 $c(n,0)$ 및 $c(n,1)$의 닫힌 형태 표현이 제시된다: $c(2n,0) = \frac{\pi}{2^{2n+1}}\binom{2n}{n}$ 및 $c(2n+1,0) = \frac{2^{2n}}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$.
• 적분 $\int_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$는 $\sin(\frac{\pi}{2}p - (2k+1)b)$와 $\Gamma(1-p)$를 포함한 유한 합으로 표현되며, 계수는 이항계수와 역거듭제곱 항으로 구성된다.
• 주요 결과를 $p = \frac{1}{2}$에서 미분하면 $\int_0^\infty \log x \cos^{2n+1}x^2\,dx = -\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2n+3}}(\pi + 2\gamma + 4\log 2)\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{n-k} \frac{1}{\sqrt{4k+2}} - \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2n+2}} \sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{n-k} \frac{=\log(2k+1)}{\sqrt{4k+2}}$를 도출한다.
• 이중 적분 $\int_0^\infty \int_0^\infty \frac{=\log x \log y}{\sqrt{xy}} \cos(x+y)\,dx\,dy = (\gamma + 2\log 2)\pi^2$는 매개수 적분과 감마 함수 항등식을 통해 유도된다.
• n차원 적분으로의 일반화를 통해 $\int_{\mathbb{R}_+^n} \cos(\|x\|^2) \prod_{j=1}^n \log x_j \, dV = \frac{(-1)^{\Delta_n} \pi^{n/2}}{2^{2n}} \times \begin{cases} \mathop{\rm Re} \psi_n & \text{if } n \text{ even}, \\ \mathop{\rm Im} \psi_n & \text{if } n \text{ odd}, \end{cases}$ 를 도출하며, 여기서 $\psi_n = (\gamma + 2\log 2 + \frac{\pi i}{2})^n e^{\pi i n/4}$이다.