[논문 리뷰] The intermediate disorder regime for a directed polymer model on a hierarchical lattice

Tom Alberts, Jeremy Clark외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 19.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 분지 수 $b$ 와 분할 수 $s$ 를 가진 계층적 다이아몬드 격자 위의 방향성 고무줄 모델에서 중간 불순도 영역을 연구한다. $b < s$ 인 경우, 스케일링 $\beta_n = \hat{\beta}(b/s)^{n/2}$ 하에서 정규화된 분할 함수가 비퇴화한 극한으로 약한 수렴을 보임을 증명한다. 반면 $b = s$ 인 경우, 분할 함수의 분산이 $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ 일 때는 0으로 수렴하고, 그 외의 경우 발산하는 임계값 $\kappa_b$ 를 규명하며, 이 경우 중심극한정리가 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

We study a directed polymer model defined on a hierarchical diamond lattice, where the lattice is constructed recursively through a recipe depending on a branching number $b\in \mathbb{N}$ and a segment number $s\in \mathbb{N}$. When $b\leq s$ previous work [27] has established that the model exhibits strong disorder for all positive values of the inverse temperature $β$, and thus weak disorder reigns only for $β=0$ (infinite temperature). Our focus is on the so-called intermediate disorder regime in which the inverse temperature $β\equiv β_{n}$ vanishes at an appropriate rate as the size $n$ of the system grows. Our analysis requires separate treatment for the cases $b0$, the normalized partition function of the system converges weakly as $n o \infty$ to a distribution $\mathbf{L}(\widehatβ)$ depending continuously on the parameter $\widehatβ$. In the case $b=s$ we find a critical point in the behavior of the model when the inverse temperature is scaled as $β_{n}=\widehatβ/n$; for an explicitly computable critical value $κ_{b} &gt; 0$ the variance of the normalized partition function converges to zero with large $n$ when $\widehatβ\leq κ_{b}$ and grows without bound when $\widehatβ&gt;κ_{b}$. Finally, we prove a central limit theorem for the normalized partition function when $\widehatβ\leq κ_{b}$.

연구 동기 및 목표

• 시스템 크기 $n$ 과 함께 스케일링되는 역온도 $\beta_n$ 을 갖는 계층적 다이아몬드 격자에서의 방향성 고무줄 모델에서 중간 불순도 영역을 분석하는 것.
• $b < s$ 와 $b = s$ 인 경우에 대해 $\beta_n$ 의 다양한 스케일링 하에서 정규화된 분할 함수의 행동을 규명하는 것.
• $b = s$ 인 경우, 분할 함수의 분산이 0으로 수렴하거나 발산하는 것을 나누는 임계 임계값 $\kappa_b$ 를 규명하는 것.
• $b = s$ 인 경우 $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ 일 때 정규화된 분할 함수가 중심극한정리를 만족하는지 확인하는 것.

제안 방법

• 분지 수 $b$ 와 분할 수 $s$ 를 가진 계층적 다이아몬드 격자를 재귀적으로 구성하여 고무줄 경로를 모델링하는 것.
• 시스템 크기 $n$ 과 함께 감소하는 역온도 $\beta_n$ 을 통해 간섭을 적용함으로써 중간 불순도 영역에 접근하는 것.
• 정규화된 분할 함수 $\widetilde{W}_n(\beta_n; D_n)$ 와 그 분산을 재귀적 맵 $\widetilde{M}_n^m(0)$ 과 관련 함수 $r_m^{(n)}$ 을 통해 분석하는 것.
• 테일러 전개와 渐近 분석을 활용하여 $r_n^{(n)}$ 의 행동을 근사하고 주요 항 $1 - r_n \sim \frac{b+1}{3(b-1)}\frac{\log n}{n}$ 을 유도하는 것.
• 리만 합 근사와 오차 항의 경계를 적용하여 $\widetilde{M}_n^n(0)$ 의 渐近 행동을 도출하며, 이는 분할 함수의 분산을 결정한다.
• 역탄젠트 함수에 대한 두 번째 차수 테일러 전개를 활용하여 $r_m$ 의 재귀적 동역학과 $\beta_n$ 의 스케일링 간의 관계를 규명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $b < s$ 인 경우 중간 불순도 영역에서 정규화된 분할 함수는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 $b = s$ 인 경우, 정규화된 분할 함수의 분산이 0으로 수렴하거나 발산하는 것을 나누는 임계 임계값 $\kappa_b$ 는 무엇인가?
• RQ3 $b = s$ 인 경우 $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ 일 때 정규화된 분할 함수는 중심극한정리를 만족하는가?
• RQ4 $b = s$ 인 경우 분할 함수의 분산의 정확한 渐近 스케일링은 무엇인가?

주요 결과

• $b < s$ 인 경우, $\beta_n = \hat{\beta}(b/s)^{n/2}$ 일 때 정규화된 분할 함수는 $\hat{\beta} > 0$ 에 대해 비퇴화한 극한 $\mathbf{L}(\hat{\beta})$ 로 약한 수렴을 보인다.
• $b = s$ 인 경우, $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ 일 때 분할 함수의 분산은 $n \to \infty$ 일 때 0으로 수렴하고, $\hat{\beta} > \kappa_b$ 일 때는 발산한다. 여기서 $\kappa_b > 0$ 는 명시적으로 계산 가능하다.
• $b = s$ 인 경우 $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ 일 때 정규화된 분할 함수에 대해 중심극한정리가 성립한다.
• $\widetilde{M}_n^n(0)$ 의 渐近 행동은 $\widetilde{M}_n^n(0) = \frac{6}{b+1}\frac{n}{\log n} + O\left(\frac{n}{\log^2 n}\right)$ 로 주어지며, 이는 $b = s$ 인 경우 분산을 결정한다.
• 임계 임계값 $\kappa_b$ 는 시스템의 재귀적 동역학에서 유도되며, 약한 모멘트 가정 하에 환경 분포와 무관하다.
• 분석을 통해 $1 - r_n \sim \frac{b+1}{3(b-1)}\frac{\log n}{n}$ 이라는 결과를 도출하였으며, 이는 분산 스케일링과 임계 $\kappa_b$ 의 존재성을 뒷받침한다.