[논문 리뷰] The Interpolation Theory of Radial Basis Functions

Brad Baxter|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 12.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 16인용 수 88

한 줄 요약

이 학위논문은 $1 < p < 2$ 인 $p$-노름에 대해 라디얼 기저 함수(RBF) 보간법의 존재성과 유일성을 확립하며, $p > 2$ 일 때는 특이한 보간 행렬로 인해 보간이 실패함을 증명하고, 토플리츠 구조와 푸리에 분석을 활용한 전처리 조건부 공액 기울기 방법을 개발하여 중심 수에 관계없이 일정한 수의 단계 내에 수렴하도록 하였으며, 이는 정규 격자에 대해 $O(nackepsilon n)$의 해석 복잡도를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this dissertation, it is first shown that, when the radial basis function is a $p$-norm and $1 &lt; p &lt; 2$, interpolation is always possible when the points are all different and there are at least two of them. We then show that interpolation is not always possible when $p &gt; 2$. Specifically, for every $p &gt; 2$, we construct a set of different points in some $\Rd$ for which the interpolation matrix is singular. The greater part of this work investigates the sensitivity of radial basis function interpolants to changes in the function values at the interpolation points. Our early results show that it is possible to recast the work of Ball, Narcowich and Ward in the language of distributional Fourier transforms in an elegant way. We then use this language to study the interpolation matrices generated by subsets of regular grids. In particular, we are able to extend the classical theory of Toeplitz operators to calculate sharp bounds on the spectra of such matrices. Applying our understanding of these spectra, we construct preconditioners for the conjugate gradient solution of the interpolation equations. Our main result is that the number of steps required to achieve solution of the linear system to within a required tolerance can be independent of the number of interpolation points. The Toeplitz structure allows us to use fast Fourier transform techniques, which imp lies that the total number of operations is a multiple of $n \log n$, where $n$ is the number of interpolation points. Finally, we use some of our methods to study the behaviour of the multiquadric when its shape parameter increases to infinity. We find a surprising link with the {\it sinus cardinalis} or {\it sinc} function of Whittaker. Consequently, it can be highly useful to use a large shape parameter when approximating band-limited functions.

연구 동기 및 목표

• 다양한 $d \geq 2$ 차원에서 라디얼 기저 함수 보간의 이론적 기초를 확립하기 위해.
• 오랫동안 남아있던 질문인 $p$-노름 라디얼 기저 함수를 사용한 보간이 언제 가능한지, 특히 $1 < p < 2$ 와 $p > 2$ 를 구분하여 해결하기 위해.
• 큰 형태 매개변수를 가질 경우 발생하는 악조건의 선형 시스템에 있어서 RBF 보간법의 민감도와 조건수를 분석하기 위해.
• 토플리츠 행렬의 스펙트럼 성질과 빠른 푸리에 변환을 활용하여 대규모 RBF 시스템의 효율적인 반복 해법을 개발하기 위해.
• 형태 매개변수 $c$ 가 무한대에 접근할 때 다중격자 RBF의 점근적 행동을 탐구하여, 밴드제한 함수 근사와의 연결 고리를 드러내기 위해.

제안 방법

• 분포적 푸리에 변환과 조건부 양의 정의 함수를 활용하여 슈온베르크의 $p=2$ 이론을 $1 < p < 2$ 로 확장한다.
• $p > 2$ 인 경우 특이한 보간 행렬을 명시적으로 구성함으로써 보간이 항상 가능하지 않음을 증명한다.
• 정규 격자에서의 거리 행렬 스펙트럼을 유계롭게 하기 위해 토플리츠 연산자 이론과 폴리아 주파수 함수를 적용한다.
• 푸리에 분석과 파이슨 합성 공식을 활용하여 날카운 스펙트럼 경계를 유도함으로써 효과적인 전처리 조건자 설계를 가능하게 한다.
• 빠른 푸리에 변환(FFTs)을 활용하여 전처리 조건부 공액 기울기 방법을 $O(n\log n)$ 복잡도로 구현한다.
• 형태 매개변수 $c \to \infty$ 일 때 다중격자 RBF의 극한을 분석하여, 윌리암슨 카디널 함수(sinc 함수)로 수렴함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 보간 점을 가질 때, 어떤 $p$-노름에 대해 항상 라디얼 기저 함수 보간이 가능할 수 있는가?
• RQ2 형태 매개변수는 다중격자 RBF 보간법의 조건수와 정확도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 공액 기울기 방법이 중심 수에 관계없이 반복 횟수가 독립적이게 전처리될 수 있는가?
• RQ4 정규 격자에서 RBF 보간 행렬의 스펙트럼은 어떻게 행동하는가? 그리고 이를 빠른 해법 설계에 활용할 수 있는가?
• RQ5 형태 매개변수를 증가시킬 때 다중격자 RBF의 점근적 행동은 어떠한가? 그리고 이는 밴드제한 함수 근사와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 서로 다른 점에서의 $p$-노름 라디얼 기저 함수 보간은 $1 < p < 2$ 일 때 항상 가능하지만, $p > 2$ 일 경우 특이한 보간 행렬을 명시적으로 구성함으로써 보간이 항상 가능하지 않음을 입증하였다.
• 형태 매개변수 $c \to \infty$ 일 때 정규 격자에 대한 보간 행렬의 최소 고유값은 지수적으로 0에 수렴함을 보여, 심각한 악조건의 시스템임을 시사한다.
• 제안된 전처리 조건자를 사용할 경우, RBF 시스템을 주어진 정밀도로 해석하기 위해 필요한 공액 기울기 반복 횟수는 중심 수 $n$ 에 영향을 받지 않는다.
• 전처리 조건부 공액 기울기 알고리즘에서 FFT의 활용으로 인해 시스템 해석의 총 계산 복잡도는 $O(n\log n)$ 이다.
• 큰 형태 매개변수 $c$ 를 가진 다중격자 RBF는 윌리암슨 카디널 함수(sinc 함수)로 수렴함을 보여, 밴드제한 함수에 대해 높은 정확도를 가짐을 시사한다.
• 최소 간격 $ackepsilon$ 를 가진 임의의 중심에 대해 보간 행렬의 역행렬 노름에 대한 상한은, 간격 $ackepsilon$ 의 정규 격자에 대한 해당 상한에 의해 유계진다고 추측된다.