[논문 리뷰] The interval turnpike property for adjoints

Timm Faulwasser, Lars Grüne외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 25.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 34인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 및 무한차원 비선형 최적제어 문제에서 동적변수의 간격 터널피크 성질을 확립하며, 상태 및 제어 변수가 시간의 상당 부분 동안 평형해에 가까이 머무르는 터널피크 행동을 보일 경우, 일阶 최적성 조건의 연속성 가정 하에 그에 상응하는 동적변수도 평형해에 수렴함을 보여준다. 이 결과는 유한차원 불안정 부분을 가진 안정화 가능한 시스템에 대해 성립하며, 해석적 반군 가정 하에 더욱 강화되며, 경계 제어를 받는 비선형 열방정식의 예시를 통해 검증된다.

ABSTRACT

In this work we derive an interval turnpike result for adjoints of finite- and infinite-dimensional nonlinear optimal control problems under the assumption of an interval turnpike on states and controls. We consider stabilizable dynamics governed by a generator of a semigroup with finite-dimensional unstable part satisfying a spectral decomposition condition and show the desired turnpike property under continuity assumptions on the first-order optimality conditions. We further give stronger estimates for analytic semigroups and provide a numerical example with a boundary controlled semilinear heat equation to illustrate the results.

연구 동기 및 목표

• 상태 및 제어 변수가 간격 터널피크 행동을 보이는 최적제어 문제에서 동적변수의 터널피크 성질을 확립하기 위해.
• 유한차원 불안정 부분을 가진 반군 생성자에 의해 지배되는 무한차원 시스템에서 동적변수에 대한 터널피크 이론을 확장하기 위해.
• 작은 조건 가정 없이 상태 및 제어 수렴이 동적변수 수렴을 이끌어내는 조건을 제공하기 위해.
• 해석적 반군 가정 하에 추정치를 강화하고, 경계 제어를 받는 비선형 열방정식을 통해 이론적 결과를 수치적으로 검증하기 위해.
• 상태 및 제어에 대한 간격 터널피크 성질을 위한 충분조건을 규명하여 동적변수 터널피크 결과를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 강한 연속 반군의 생성자와 유계 제어 연산자를 갖는 바나흐 공간 설정에서 최적제어 문제를 수립하기 위해.
• 동적변수를 포함한 일阶 최적성 조건을 유도하고, 최적성 시스템의 연속성 가정 하에 그 수렴성을 분석하기 위해.
• 상태 및 제어가 수평선 T에 따라 증가하는 간격 동안 평형해에 가까이 머무르는 간격 터널피크 행동을 가정하기 위해.
• 시스템 생성자에 대한 스펙트럼 분해 및 안정화 가능성 가정 하에, 상태 및 제어가 평형에 가까운 간격에서 동적변수가 그 평형해에 상응하는 동적변수로 수렴함을 증명하기 위해.
• 해석적 반군 가정 하에 수렴 추정치를 강화하여 동적변수의 정(regularity)과 수렴 속도를 향상시키기 위해.
• 이론적 결과를 수치적으로 검증하기 위해 2차원 경계 제어를 받는 비선형 열방정식을 사용하여 상태, 제어, 동적변수에서의 터널피크 행동을 시연하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 최적제어 문제에서 상태 및 제어의 터널피크 행동이 해당 동적변수의 터널피크 행동을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 초기 조건 또는 시스템 매개변수에 대한 작음 조건 없이도 동적변수 터널피크 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ3 해석적 반군 성질은 무한차원 최적제어 문제에서 동적변수의 수렴 추정치를 어떻게 향상시키는가?
• RQ4 상태 및 제어가 평형에 가까이 머무르는 시간 간격에서 동적변수 차이의 유계성 조건은 무엇인가?
• RQ5 특히 PDE 제약 최적제어 문제에서 상태 및 제어에 대한 간격 터널피크 성질은 실무적으로 어떻게 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 일阶 최적성 조건의 연속성 가정 하에, 상태 및 제어가 평형에 가까이 머무르는 간격에서 동적변수가 그 평형해에 상응하는 동적변수로 수렴함을 보였다.
• 유한차원 불안정 부분을 가진 시스템에서 스펙트럼 분해 가정 하에 안정화 가능성 및 연속성 가정이 성립할 경우, 동적변수 터널피크 성질이 성립함을 확인하였다.
• 해석적 반군 가정 하에 L2(Ω) 및 H1(Ω) 노름 모두에서 동적변수에 대해 더 강력한 수렴 추정치를 확보하였다.
• 수치 결과는 2차원 영역에서 경계 제어를 받는 비선형 열방정식에서 상태, 제어, 동적변수 모두에 터널피크 성질이 존재함을 확인하였다.
• 균형 비용이 0이 되는 특정 예시에서 동적변수 차이의 유계성 조건이 검증되었지만, 논문은 이를 제한적인 가정으로 지적하였다.
• 이론적 프레임워크는 적절한 적합성 조건 또는 고전적 해 조건 하에 경계 제어 문제와 같은 비유계 제어 연산자로의 확장이 가능함을 보여주었다.