[논문 리뷰] The Intrinsic Flat Distance between Riemannian Manifolds and other Integral Current Spaces

Christina Sormani, Stefan Wenger|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 05.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 공통의 거리 공간에 등장하는 등거리 임bedding을 통해 리만다이너안 다양체와 정수 전류 공간 사이의 내재 평탄 거리를 정의한다. 이는 평탄 거리를 측정하고, 모든 가능한 임베딩에 대해 최소값을 취함으로써 이루어진다. 주요 기여는 두 컴팩트이고 방향이 주어진 리만다이너안 다양체의 내재 평탄 거리가 0이 되는 것은 정확히 그것들이 등거리일 때뿐이며, 일정한 부피와 지름을 가진 다양체의 수열이 가산적 $χ^{m}$-직선성인 극한 공간으로 수렴한다는 것을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

Inspired by the Gromov-Hausdorff distance, we define the intrinsic flat distance between oriented $m$ dimensional Riemannian manifolds with boundary by isometrically embedding the manifolds into a common metric space, measuring the flat distance between them and taking an infimum over all isometric embeddings and all common metric spaces. This is made rigorous by applying Ambrosio-Kirchheim's extension of Federer-Fleming's notion of integral currents to arbitrary metric spaces. We prove the intrinsic flat distance between two compact oriented Riemannian manifolds is zero iff they have an orientation preserving isometry between them. Using the theory of Ambrosio-Kirchheim, we study converging sequences of manifolds and their limits, which are in a class of metric spaces that we call integral current spaces. We describe the properties of such spaces including the fact that they are countably $\mathcal{H}^m$ rectifiable spaces and present numerous examples.

연구 동기 및 목표

• 평탄 수렴을 일반화하는 새로운 내재 거리 개념을 리만다이너안 다양체와 정수 전류 공간 간에 정의한다.
• 그러한 새로운 수렴 개념에서 수열이 수렴하는 조건을 확립하며, 특히 그로모프-하우스도르프 수렴이 실패할 경우를 다룬다.
• 두 컴팩트이고 방향이 주어진 리만다이너안 다양체 사이의 내재 평탄 거리가 0이 되는 것은 정확히 그것들이 등거리일 때뿐임을 증명한다.
• 내재 평탄 수렴 수열의 극한을 가산적 $χ^{m}$-직선성인 거리 공간으로 특성화한다.
• 내재 평탄 수렴이 직선성을 유지하며, 심지어 스칼라 곡률이 양수일 때도 특이점이나 붕괴된 구조를 가진 극한을 允허함을 보여준다.

제안 방법

• 공통의 거리 공간에 등거리 임베딩을 통해 내재 평탄 거리를 정의하고, 모든 가능한 임베딩과 공간에 대해 최소값을 취한다.
• 암브로시오-키르히하임의 거리 공간 위의 정수 전류 이론을 적용하여, 리만다이너안 다양체의 극한으로서 정수 전류 공간을 정의한다.
• 공통의 거리 공간 내 전류 간의 평탄 거리를 사용하여 다양체 간의 거리를 측정하며, 질량 노름 $ØØ$을 활용한다.
• 내재 평탄 거리의 최소값이 필링 전류와 부피 추정을 포함하는 구성에 의해 도달됨을 증명한다.
• 리프시츠 및 매끄러운 수렴 정리들을 활용하여 내재 평탄 수렴이 극한에서 전류를 보존하는 등거리 변환과 관련됨을 밝힌다.
• 콤팩트성 정리(예: 웬거의 정리)를 사용하여, 일정한 부피와 지름을 가진 수열이 내재 평탄 수렴 수렴하는 부분수열을 가짐을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그로모프-하우스도르프 수렴이 실패할 경우에도 약한 수렴을 포착할 수 있는 새로운 내재 거리 개념을 리만다이너안 다양체 간에 정의할 수 있는가?
• RQ2 양의 스칼라 곡률을 가진 다양체의 수열이 어떤 조건에서 약한 의미에서 극한 공간으로 수렴하는가?
• RQ3 내재 평탄 수렴 하에서 극한 공간의 기하학적 및 측도론적 성질은 무엇인가?
• RQ4 내재 평탄 거리가 0이 되는 것은 정확히 두 다양체가 등거리일 때뿐인가?
• RQ5 내재 평탄 극한이 비콤팩트이거나 무한 질량을 가질 수 있는가? 이를 방지하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 두 컴팩트이고 방향이 주어진 리만다이너안 다양체 사이의 내재 평탄 거리가 0이 되는 것은 정확히 그것들이 방향을 유지하는 등거리 변환을 통해 등거리일 때뿐이다.
• 균일하게 유계된 지름과 부피를 가진 리만다이너안 다양체의 수열은 내재 평탄 수렴에서 가산적 $χ^{m}$-직선성인 거리 공간으로 수렴한다.
• 내재 평탄 수렴 수열의 극한 공간은 정수 전류 공간이며, 가산적 $χ^{m}$-직선성이고 유한 질량을 가진다.
• 유한 질량 정수 전류 공간으로 수렴하지 않는 내재 평탄 거리에서의 코시 수열이 존재함을 보여, 정수 전류 공간의 공간이 완비가 아님을 보여준다.
• 내재 평탄 극한은 상쇄, 붕괴, 또는 두重화를 보일 수 있으며, 반드시 전콤팩트이거나 길이 공간이 아니어야 한다.
• 일만넨의 3차원 구의 수열은 양의 스칼라 곡률을 가지나, 그로모프-하우스도르프 수렴은 하지 않지만 내재 평탄 수렴에서 표준 2차원 구로 수렴한다.