[논문 리뷰] The inverse integrating factor and the Poincaré map

Isaac A. García, Héctor Giacomini외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 10. 17.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 평면 해석 미분계열에서 역적분인자와 푸앵카레 복귀사상 사이의 직접적 연결을 확립하며, 한 주기적 궤도의 다중도가 그 위에서 역적분인자의 소멸 다중도와 같음을 보여준다. 또한 초등하위 안정다중도의 경우, 비대수적 사례(예: 선형화 가능한 안정다중도)에서도 역적분인자의 소멸 다중도에 의해 동치로 주어지는 동치루프의 사이클리시티가 결정됨을 증명한다.

ABSTRACT

This work is concerned with planar real analytic differential systems with an analytic inverse integrating factor defined in a neighborhood of a regular orbit. We show that the inverse integrating factor defines an ordinary differential equation for the transition map along the orbit. When the regular orbit is a limit cycle, we can determine its associated Poincaré return map in terms of the inverse integrating factor. In particular, we show that the multiplicity of a limit cycle coincides with the vanishing multiplicity of an inverse integrating factor over it. We also apply this result to study the homoclinic loop bifurcation. We only consider homoclinic loops whose critical point is a hyperbolic saddle and whose Poincaré return map is not the identity. A local analysis of the inverse integrating factor in a neighborhood of the saddle allows us to determine the cyclicity of this polycycle in terms of the vanishing multiplicity of an inverse integrating factor over it. Our result also applies in the particular case in which the saddle of the homoclinic loop is linearizable, that is, the case in which a bound for the cyclicity of this graphic cannot be determined through an algebraic method.

연구 동기 및 목표

• 평면 해석계에서 역적분인자와 푸앵카레 복귀사상 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 역적분인자의 소멸 다중도를 이용해 동치루프의 사이클리시티를 결정한다.
• 기존 대수적 방법이 실패하는 경우, 특히 안정다중도가 선형화 가능한 경우를 분석한다.
• 비항등 푸앵카레 복귀사상을 갖는 시스템에서 사이클리시티를 계산하는 방법을 제공한다.
• 역적분인자 이론의 적용 범위를 주기적 궤도 및 동치루프 분기 분석으로 확장한다.

제안 방법

• 정규 궤도를 따라 곡선좌표(s, n)로 시스템을 변환하며, s는 호장 길이 매개변수이고 n은 법선 거리이다.
• 궤도 근처의 흐름을 제어하는 dn/ds = F(s,n) 형태의 상미분방정식을 유도한다.
• 특성선 방법을 사용하여 곡선좌표에서의 역적분인자 V를 ˜V(s,n)로 표현하며, 일阶 편미분방정식을 만족한다.
• 푸앵카레 사상 Π(n₀) = Ψ(L; n₀)이 F(s,n)의 흐름에 의해 결정되며, 식 (6)의 편미분방정식을 통해 ˜V(s,n)와 관련됨을 보인다.
• 주기적 궤도에 이론을 적용하여, 주기적 궤도의 다중도가 그 위에서 역적분인자의 소멸 다중도와 같음을 증명한다.
• 동치루프를 분석하기 위해 초등하위 안정다중도 근처에서의 역적분인자의 국소적 행동을 연구하며, 그 소멸 다중도가 루프의 사이클리시티와 연결됨을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면 해석계에서 정규 궤도를 따라 역적분인자가 푸앵카레 복귀사상에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 역적분인자의 소멸 다중도와 주기적 궤도의 다중도 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 안정다중도가 초등하위이고 복귀사상이 항등사상이 아닐 경우, 동치루프의 사이클리시티가 역적분인자의 소멸 다중도로 결정될 수 있는가?
• RQ4 안정다중도가 선형화 가능할 경우, 기존 대수적 방법이 실패하는 상황에서 이 이론은 어떻게 적용되는가?
• RQ5 역적분인자가 다항식이 아니지만 해석적일 경우, 동치루프의 사이클리시티는 어떻게 되며, 이는 분기와 어떤 관련이 있는가?

주요 결과

• 주기적 궤도의 다중도는 그 궤도 위에서의 역적분인자의 소멸 다중도와 같다.
• 비항등 푸앵카레 복귀사상을 갖는 초등하위 안정다중도에서의 동치루프의 사이클리시티는 그 루프 위에서의 역적분인자의 소멸 다중도와 같다.
• 선형화 가능한 안정다중도의 경우, 대수적 방법이 실패하더라도 여전히 사이클리시티는 역적분인자의 소멸 다중도에 의해 결정된다.
• 시스템 (21)에서 m = 1이면 동치루프의 사이클리시티는 2이며, αₘ ≠ 0이면 2m−1, αₘ = 0이면 2m이다. 여기서 m은 소멸 다중도이다.
• 해밀토니안이면서 비항등 복귀사상을 갖는 시스템 (22)에서는 역적분인자 fⁿ의 소멸 다중도가 정의되지 않으며, 사이클리시티는 유계가 아니다—임의로 많은 주기적 궤도가 루프에서 분기할 수 있다.
• 특정 형태의 첫 번째 적분 H(x,y)의 존재는 역적분인자가 다항식이면서 전역적으로 정의됨을 확인하며, 사이클리시티 결과를 뒷받침한다.