[논문 리뷰] The inverse problem for arboreal Galois representations of index two

Andrea Ferraguti, Carlo Pagano외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 인덱스 두 개인 나무형 갈루아 표현에 대한 역 문제를 해결하며, 정규 이진 트리의 무한 자동사상군의 주어진 인덱스 두 개인 부분군과 일치할 조건을 명시적으로 제시한다. 이 조건은 후행 임계 궤도에서 제곱 모듈로의 선형 종속성 관계에 기반한다. 논문은 ℚ에서 정확히 다섯 개인 인덱스 두 개인 부분군이 무한히 자주 나타나며, 이들의 위상적 비동형성을 조합적 불변량을 통해 증명함으로써, 무한 갈루스 문제에 대해 다섯 개의 서로 다른 해를 제공한다.

ABSTRACT

This paper introduces a systematic approach towards the inverse problem for arboreal Galois representations of finite index attached to quadratic polynomials. Let $F$ be a field of characteristic $ eq 2$, $f\in F[x]$ be monic and quadratic and $ρ_f$ be the arboreal Galois representation associated to $f$, taking values in the group $Ω_{\infty}$ of automorphisms of the infinite binary tree. We give a complete description of the maximal closed subgroups of each closed subgroup of index at most two of $Ω_{\infty}$ in terms of linear relations modulo squares among certain universal functions evaluated in elements of the critical orbit of $f$. We use such description in order to derive necessary and sufficient criteria for the image of $ρ_f$ to be a given subgroup of index two of $Ω_\infty$. These depend exclusively on the arithmetic of the critical orbit of $f$. Afterwards, we prove that if $ϕ=x^2+t\in\mathbb Q(t)[x]$, then there exist exactly five distinct subgroups of index two of $Ω_{\infty}$ that can appear as images of $ρ_{ϕ_{t_0}}$ for infinitely many $t_0\in\mathbb Q$, where $ϕ_{t_0}$ is the specialized polynomial. We show that two of them appear infinitely often, and if Vojta's conjecture over $\mathbb Q$ holds true, then so do the remaining ones. Finally, we give an explicit description of the derived series of each subgroup of index two. Using this, we introduce a sequence of combinatorial invariants for subgroups of index two of $Ω_\infty$. With a delicate use of these invariants we are able to establish that such subgroups are pairwise non-isomorphic as topological groups, a result of independent interest. This implies, in particular, that the five aforementioned groups are pairwise distinct topological groups, and therefore yield five genuinely different instances of the infinite inverse Galois problem over $\mathbb Q$.

연구 동기 및 목표

• 무한 뿌리 있는 이진 트리의 자동사상군인 Ω∞의 모든 닫힌 부분군 중 인덱스 두 개인 것을 분류하는 것.
• 특성 ≠ 2인 체 위의 이차 다항식에 연결된 나무형 갈루아 표현의 이미지로 나타날 수 있는 이러한 부분군을 결정하는 것.
• 주어진 인덱스 두 개인 부분군이 이차 다항식의 표현의 이미지로 실현될 수 있는 필요 및 충분 조건을 제공하는 것.
• Ω∞의 다섯 개의 인덱스 두 개인 부분군이 위상군으로서 상호 비동형이 아니라는 것을 증명하여, ℚ에서 무한 갈루스 문제에 대해 다섯 개의 서로 다른 사례를 이끌어내는 것.

제안 방법

• 후행 임계 궤도에 의해 인덱싱된 𝔽₂^(ℤ≥0)의 영이 아닌 벡터를 이용한 매개변수화를 통해 Ω∞의 각 인덱스 두 개인 부분군의 극대 닫힌 부분군을 분류하는 것.
• f의 후행 임계 궤도의 원소들에 대해 평균 함수를 평가한 결과에서 제곱 모듈로의 선형 종속성 관계로 부분군의 구조를 변환하는 것.
• 인덱스 두 개인 부분군의 유도 계열을 이용해 위상적으로 이를 구분하는 조합적 불변량의 시퀀스를 정의하는 것.
• 만약 ℚ에서 Vojta의 추측이 참이라면, 다섯 개의 부분군 중 세 개가 x² + t의 여러 전치에서 이미지로 나타남을 증명하는 것.
• Ihara 이론과 프로파인 군 이론의 결과를 적용하여 이러한 부분군의 섬유화된 몫군과 고차 유도 계열을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 ≠ 2인 체 위의 상수항이 1인 이차 다항식에 연결된 나무형 갈루아 표현의 이미지로 나타날 수 있는 Ω∞의 닫힌 부분군 중 인덱스 두 개인 것은 무엇인가?
• RQ2 이차 다항식의 후행 임계 궤도에 대한 산술적 조건은 무엇이어야 하며, 이 조건이 특정 인덱스 두 개인 부분군 Ω∞의 이미지가 되는 데 기여하는가?
• RQ3 인덱스 두 개인 부분군의 유도 계열과 조합적 불변량은 어떻게 사용되어 위상군으로서 이를 구분할 수 있는가?
• RQ4 Ω∞의 인덱스 두 개 부분군 중 몇 개가 ℚ 위의 특수화된 다항식 x² + t₀의 이미지로 나타나며, 그 중 몇 개가 무한히 자주 나타나는가?
• RQ5 어떤 수론적 가정(예: Vojta의 추측) 하에, 다섯 개의 인덱스 두 개 부분군이 ℚ의 여러 t₀에 대해 무한히 자주 이미지로 나타나는가?

주요 결과

• ϕ = x² + t일 때, t₀ ∈ ℚ에 대해 ρϕₜ₀의 이미지로 나타날 수 있는 Ω∞의 서로 다른 인덱스 두 개 부분군은 정확히 다섯 개인데, 이는 ℚ에서 무한히 자주 나타남을 보여준다.
• 이 다섯 개의 부분군 중 두 개는 명시적 구성에 의해 무한히 자주 나타남을 입증하였다.
• 만약 ℚ에서 Vojta의 추측이 참이라면, 나머지 세 개의 부분군 역시 무한히 자주 이미지로 나타남을 증명하였다.
• Ω∞의 다섯 개의 인덱스 두 개 부분군은 위상군으로서 상호 비동형이 아니며, 이는 그 유도 계열에서 유도된 조합적 불변량의 시퀀스를 통해 증명되었다.
• ρf의 이미지가 주어진 인덱스 두 개 부분군 Ω∞와 일치하는 것은, f의 후행 임계 궤도 원소들에 대해 평균 함수를 평가한 결과에서 제곱 모듈로의 특정 선형 종속성 관계가 성립할 때에만 성립한다.
• 논문은 유한체 F×/(F×)²나 후행 임계 유한 다항식을 갖는 체 위의 상수항이 1인 이차 다항식은 무한 차수의 나무형 표현을 갖는다는 것을 증명하여 이전 결과를 일반화하였다.