[논문 리뷰] The inverse problem for Hamilton-Jacobi equations and semiconcave envelopes

Carlos Esteve, Enrique Zuazua|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 15.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 17인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 최종 시간 T에서 주어진 목표 함수를 유도하는 모든 초기 조건을 특성화함으로써 해밀턴-자코비 방정식의 역문제를 다룬다. 뒤로 향하는 점성해와 준볼록 포장의 개념을 사용하여, 미분부등식을 통한 필요충분 도달 조건을 수립하고, 임의의 목표 함수에 대한 도달 가능한 함수 집합 위로의 투영을 완전히 비선형 장애물 문제의 해로 식별함으로써, 준볼록 포장의 개념을 일반화한다.

ABSTRACT

We study the inverse problem, or inverse design problem, for a time-evolution Hamilton-Jacobi equation. More precisely, given a target function $u_T$ and a time horizon $T>0$, we aim to construct all the initial conditions for which the viscosity solution coincides with $u_T$ at time $T$. As it is common in this kind of nonlinear equations, the target might not be reachable. We first study the existence of at least one initial condition leading the system to the given target. The natural candidate, which indeed allows determining the reachability of $u_T$, is the one obtained by reversing the direction of time in the equation, considering $u_T$ as terminal condition. In this case, we use the notion of backward viscosity solution, that provides existence and uniqueness for the terminal-value problem. We also give an equivalent reachability condition based on a differential inequality, that relates the reachability of the target with its semiconcavity properties. Then, for the case when $u_T$ is reachable, we construct the set of all initial conditions for which the solution coincides with $u_T$ at time $T$. Note that in general, such initial conditions are not unique. Finally, for the case when the target $u_T$ is not necessarily reachable, we study the projection of $u_T$ on the set of reachable targets, obtained by solving the problem backward and then forward in time. This projection is then identified with the solution of a fully nonlinear obstacle problem, and can be interpreted as the semiconcave envelope of $u_T$, i.e. the smallest reachable target bounded from below by $u_T$.

연구 동기 및 목표

• 해밀턴-자코비 방정식의 점성해를 통해 최종 시간 T에서 주어진 목표 함수 u_T를 생성하는 데 필요한 모든 초기 조건을 결정하는 것.
• u_T의 준볼록성 성질에 기반하여 u_T의 도달 가능성에 대한 필요충분 조건을 수립하는 것.
• u_T로 진화하는 모든 초기 조건의 집합을 구성하고, 그 중 최소의 초기 조건을 특정하는 것.
• 임의의 리프시츠 목표 함수를 도달 가능한 함수 집합 위로 투영하는 방법을 특성화하고, 이 투영이 완전히 비선형 장애물 문제의 해임을 밝히는 것.
• 해밀턴-자코비 역동에서 준볼록 포장의 개념을 볼록 포장의 일반화로 다루는 것.

제안 방법

• 주어진 최종 목표 u_T에 대해 뒤로 향하는 점성해를 사용하여 후보 초기 조건을 도출한다.
• 도달 가능성 기준으로서 미분부등식 (7.1)을 사용하며, 이는 u_T의 준볼록성과 연결된다.
• 최소의 초기 조건을 u_0 = S_T^− u_T로 구성하며, 여기서 S_T^−는 뒤로 향하는 진화 연산자이다.
• 모든 허용 가능한 초기 조건이 일치하는 점들의 집합 X_T(u_T)를 기하학적 성질을 통해 식별한다.
• 도달 가능한 집합 위로 u_T를 투영하는 것을 S_T^+ ∘ S_T^− u_T로 정의하며, 이는 완전히 비선형 장애물 문제의 해임을 보여준다.
• 이 투영이 u_T보다 작지 않은 최소의 도달 가능한 함수임을 증명하고, 이는 u_T의 준볼록 포장임을 특정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 목표 함수 u_T가 최종 시간 T에서 해밀턴-자코비 방정식의 점성해로 도달 가능하려면 어떤 조건을 만족해야 하는가?
• RQ2 해밀턴-자코비 흐름 하에서 주어진 목표 u_T로 진화하는 모든 초기 조건을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 동일한 최종 상태 u_T로 이르는 모든 초기 조건의 집합의 기하학적 및 분석적 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 도달 불가능한 목표 u_T를 도달 가능한 목표 집합 위로 투영하는 방법은 무엇이며, 이 투영을 특성화하는 방정식은 무엇인가?
• RQ5 뒤로-앞으로 진화에 의한 u_T의 투영이 완전히 비선형 장애물 문제의 해와 동일한가? 만약 그렇다면, 이 방정식의 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 목표 함수 u_T는 유일하게 미분부등식 (7.1)을 만족할 때에만 도달 가능하며, 이는 해밀턴함수의 헤시안과 관련된 u_T의 준볼록성을 포함한다.
• u_T로 진화하는 최소의 초기 조건은 S_T^− u_T로 주어지며, 이는 최종 데이터 u_T로부터의 뒤로 향하는 점성해이다.
• u_T로 이르는 모든 초기 조건의 집합은 X_T(u_T)에서 모든 조건이 일치하는 점들로 특성화되며, 이는 u_T의 미분 가능점에 대한 사전 지식 없이도 기하학적으로 식별할 수 있다.
• 합성 S_T^+ ∘ S_T^− u_T는 u_T의 도달 가능한 함수 집합 위로의 투영을 제공하며, 이는 u_T보다 작지 않은 최소의 도달 가능한 함수이다.
• 이차 해밀턴함수와 일변도 경우에 대해 이 투영은 완전히 비선형 장애물 문제 (7.2)의 해가 되며, 이는 u_T의 준볼록 포장으로 식별된다.
• 준볼록 포장은 볼록 포장의 일반화이며, 해밀턴-자코비 역문제의 맥락에서 비선형 장애물 문제의 자연스러운 해로서 나타난다.