[논문 리뷰] The inverse problem of the Schrödinger equation in the plane; A dissection of Bukhgeim's result

Emilia Blåsten|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 31.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 평면에서 슈뢰딩거 방정식에 대한 역경계값 문제에 관한 부크헤임의 2007년 획기적인 결과를 분석하여, 딜리클레-투-노이만 데이터로부터 잠재력의 유일성을 증명한다. 이는 두 해법 간의 수직성 관계를 활용하고, $\bar{\partial}$-방법을 통해 진동하는 복소 기하광학 해법을 구성하며, 정적 위상 원리를 적용하여 잠재력을 추출함으로써 이루어지며, 원래 증명에서 약간의 빈도가 있었던 점을 고려하여 $L^p$ 잠재력으로까지 결과를 확장한다.

ABSTRACT

The purpose of this licentiate thesis is to present Bukhgeim's result of 2007, which solves the inverse boundary value problem of the Schrödinger equation in the plane. The thesis is mainly based on Bukhgeim's paper and Kari Astala's seminar talk, which he gave the 11th and 18th September of 2008 at the University of Helsinki. Section 3 is devoted to the history and past results concerning some related problems: notably the inverse problem of the Schrödinger and conductivity equations in different settings. We also describe why some of the past methods do not work in the general case in a plane domain. Section 4 outlines Bukhgeim's result and sketches out the proof. This proof is a streamlined version of the one in Bukhgeim's paper with the stationary phase method based on Kari Astala's presentation. In the following section we prove all the needed lemmas which are combined in section 6 to prove the solvability of the inverse problem. The idea of the proof is simple. Given two Schrödinger equations with the same boundary data we get an orthogonality relation for the solutions of the two equations. Then we show the existence of certain oscillating solutions and insert these into the orthogonality relation. Then by a stationary phase argument we see that the two Schrödinger equations are the same. In the last section we contemplate an unclear detail in Bukhgeim's paper which Kari Astala pointed out in his seminar talk: without an extra argument Bukhgeim's proof shows the solvability of the inverse problem only for differentiable potentials instead of ones in L^p. But the special oscillating solutions exist even for L^p potentials.

연구 동기 및 목표

• 두 차원에서 경계 측정치로부터 슈뢰딩거 방정식의 잠재력의 유일성을 밝히고 재유도하는 것.
• 원래 부크헤임의 증명에서 약간의 빈도가 있었던 점을 해결하기 위해, $C^1$ 잠재력 뿐 아니라 $L^p$ 잠재력에 대해서도 진동하는 해가 존재함을 보이는 것.
• 카리 아스타라의 세미나 발표를 바탕으로 정적 위상 방법을 사용한 간결한 증명을 제시하고, 세부 레마와 기술적 도구를 통해 논리를 쉽게 이해할 수 있도록 하는 것.
• 이러한 정규성 클래스에서 적절한 복소 기하광학 해법의 존재를 증명함으로써, $L^p$ 잠재력에 대한 역문제의 가역성을 확립하는 것.

제안 방법

• 두 슈뢰딩거 방정식이 동일한 딜리클레-투-노이만 맵을 공유함에 따라 유도된 수직성 관계로부터 증명을 시작한다.
• $\zeta \in \mathbb{C}$인 형태의 진동하는 해 $e^{z\zeta} \phi(z,\zeta)$를 $\bar{\partial}$-방정식과 비어링 변환의 성질을 이용해 구성한다.
• 경계 상의 적분에 대해 정적 위상 원리를 적용하여, 해의 진동성 특성을 활용해 잠재력 차이에 대한 정보를 추출한다.
• 리프시츠 도메인에서 적분 by parts와 경계 연산자에 대한 타당성을 확보하기 위해 소볼레프 임bedding과 경계 정리(Trace theorems)를 활용한다.
• 핵심적인 기술적 단계로, $L^p$ 잠재력을 $C^c_0$ 함수로 근사하면서도 $1/(z - z_0)$를 포함하는 단순 적분의 유계성을 유지하는 것.
• 민코프스키의 적분 부등식과 $L^p$에서의 단순 적분의 유계성으로 해와 그 도함수의 성장률을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 차원에서 평면의 슈뢰딩거 방정식에 대한 역문제는 $L^p$ 잠재력에 대해 경계 측정치로 유일하게 해결될 수 있는가?
• RQ2 고전적 방법은 평면의 경우 왜 실패하는가? 그리고 새로운 도구는 무엇이 필요한가?
• RQ3 왜 $L^p$ 잠재력에 대해서도 진동하는 해를 구성할 수 있으며, 그것이 정적 위상 분석에 필수적인가?
• RQ4 $\bar{\partial}$-계산은 해법을 구성하고 유일성을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 부크헤임의 원래 증명은 $L^p$ 잠재력에 대해 유효한가, 아니면 추가적인 논증이 필요한가?

주요 결과

• 두 차원에서 $L^p(\Omega)$, $p > 2$인 잠재력에 대해 딜리클레-투-노이만 맵을 사용하여 슈뢰딩거 방정식의 역문제는 유일하게 해결 가능하다.
• 원래 증명에서처럼, 두 슈뢰딩거 방정식이 동일한 경계 데이터를 가진다면, 잠재력도 동일하다고 증명된다. 이는 잠재력이 $L^p(\Omega)$에만 속할 경우에도 성립한다.
• $L^p$ 잠재력에 대해 특정한 진동 행동을 갖는 복소 기하광학 해법의 존재가 증명되었으며, 이는 정적 위상 분석에 필수적이다.
• 정적 위상 방법을 통해 이러한 해법을 포함하는 진동 적분의 점근적 행동을 분석함으로써 잠재력의 차이를 성공적으로 추출하였다.
• 부크헤임 원래 증명에서 $C^1$ 잠재력에 대해서만 유효했던 빈도는, 필요한 진동하는 해가 존재하고 $L^p$ 설정에서 유도적으로 유계임을 보임으로써 메워졌다.
• 해법의 존재성과 정규성 보장을 위해 $L^p$ 공간에서 비어링 변환과 단순 적분의 유계성에 의존한다.