[논문 리뷰] The Jacobian cocycle and equidistribution towards the Green current

Manuel Rodrigo Parra|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 23.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 14인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 복소 프로젝티브 공간에서의 호로몰로픽 사상에 대해, 모든 완전히 불변 대수기하집합의 정규화가 최대한의 고립된 몰입 특이점을 갖는 조건 하에서, 정규화된 당근의 당근이 녹색 당근으로 수렴하는 등분포를 확립한다. 핵심 결과는 등분포가 정확히 당근이 이 가족에 질량을 지니지 않을 때 성립하는 유한한 예외적 가족의 존재이다.

ABSTRACT

Given a holomorphic self-map of complex projective space of degree larger than one, we prove that there exists a finite collection of totally invariant algebraic sets with the following property: given any positive closed (1,1)-current of mass 1 with no mass on any element of this family, the sequence of normalized pull-backs of the current converges to the Green current. Under suitable geometric conditions on the collection of totally invariant algebraic sets, we prove a sharper equidistribution result.

연구 동기 및 목표

• 복소 프로젝티브 공간에서 정규화된 당근의 당근 수렴이 녹색 당근으로 일어나는 조건을 규명하는 것.
• 차원 1과 2에서의 등분포 원리가 분류가 덜 알려진 고차원(k ≥ 3)으로 확장되는 조건을 찾는 것.
• 등분포를 방해하는 유한한 예외적 가족의 완전히 불변 대수기하집합을 특정하여, k=1과 k=2에서의 기존 결과를 일반화하는 것.
• 완전히 불변 집합의 특이성 조건이 약간의 조건을 만족할 때, 이 가족에 질량이 없는 모든 당근에 대해 등분포가 성립함을 증명하는 것.
• 대수기하학의 분류 결과를 활용하여 3차원에서의 정확한 등분포 결과를 검증하는 것.

제안 방법

• 반복의 야코비안 행렬식의 소멸 차수를 측정하기 위해, μₙ(x) = k + ordₓ(Jac(fⁿ))를 도입한다.
• μₙ(x)가 적어도 δdⁿ의 속도로 증가하는 점들의 집합 E를 정의하며, 이는 정리 4.3에 의해 대수기하집합임을 보인다.
• 야코비안 코시클의 성질과 소멸 차수의 성질을 이용하여, sup_{x∉E} μₙ(x) ≤ Cρⁿ (ρ < d)인 균일한 감쇠 추정을 확립한다.
• μₙ(x)의 감쇠를 이용하여, d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S의 르레강 수준을 유계로 제한함으로써 녹색 당근 수렴을 보장한다.
• 완전히 불변 집합의 정규화에서 klt 및 로그-칸론 특이성 이론을 적용하여 특이성 조건을 검증한다.
• Zhang와 Favre의 표면에 대한 분류 결과를 활용하여 3차원에서 특이성 조건이 성립함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 폐쇄된 (1,1)-당근 S에 대해, 수열 d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S가 녹색 당근 T_f로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 완전히 불변 대수기하집합이 당근 당근의 등분포를 방해하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 고차원(k ≥ 3)에서 완전히 불변 집합의 특이성에 기하학적 조건을 두었을 때 등분포 결과를 확립할 수 있는가?
• RQ4 야코비안 코시클 μₙ(x)는 당근 당근의 질량 집중을 어떻게 제어하는가?
• RQ5 등분포를 방해하는 예외적 집합의 가족은 고차원에서 유한하고 계산 가능한가?

주요 결과

• 모든 완전히 불변 대수기하집합의 기약 집합으로 이루어진 유한한 가족 ℰ_f가 존재하여, S가 ℰ_f의 원소에 질량을 지니지 않으면 d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S는 당근의 의미에서 T_f로 수렴한다.
• 예외적 가족 ℰ_f는 k=1과 k=2에서 알려진 가족과 일치하며, Brolin–Lyubich 및 Favre–Jonsson 결과를 일반화한다.
• 핵심 기술적 조건인 ‘모든 완전히 불변 대수기하집합의 정규화가 최대한의 고립된 몰입 특이점을 갖는다’는 조건은 3차원에서 성립한다.
• 3차원에서, 추론 B는 특이성 조건 하에서 예외적 가족에 질량이 없는 모든 당근에 대해 등분포가 성립함을 확인한다.
• 야코비안 코시클 μₙ(x)는 sup_{x∉E} μₙ(x) ≤ Cρⁿ (ρ < d)를 만족하며, 이는 d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S의 르레강 수준의 균일한 감쇠를 암시한다.
• 감쇠 속도 (ρ/d)ⁿ은 당근 당근의 르레강 수준이 극한에서 0이 되게 하며, 이는 녹색 당근으로의 수렴을 보장한다.