[논문 리뷰] The Josefson--Nissenzweig theorem, Grothendieck property, and finitely supported measures on compact spaces

Jerzy Ka̧kol, Damian Sobota외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 16.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 66인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유계 측도가 있는 유한 지지 Radon 측도의 Josefson–Nissenzweig 수열을 갖는 컴팩트 공간 $K$를 특성화한다—이러한 수열은 노름이 1이면서 약한* 수렴이 0인 수열이다. 핵심 결과는 $K$가 그러한 수열을 갖는 것과 $C(K)$가 $\ell_1(K)$에 속한 함수형에 국한된 Grothendieck 성질을 갖지 않는 것 사이의 이항조건임을 보여준다. 논문은 또한 무한 컴팩트 공간의 곱이 항상 이러한 수열을 갖는다는 것을 증명하여, $C_p(K \times L)$가 $(c_0)_p$의 보완된 사영을 포함한다는 구성적 증명을 제시하며, 기존의 $C(K \times K)$에서의 보완된 $c_0$에 관한 고전 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

The celebrated Josefson-Nissenzweig theorem implies that for a Banach space $C(K)$ of continuous real-valued functions on an infinite compact space $K$ there exists a sequence of Radon measures $\langleμ_n\colon\ n\inω angle$ on $K$ which is weakly* convergent to the zero measure on $K$ and such that $\big\|μ_n\big\|=1$ for every $n\inω$. We call such a sequence of measures extit{a Josefson-Nissenzweig sequence}. In this paper we study the situation when the space $K$ admits a Josefson-Nissenzweig sequence of measures such that its every element has finite support. We prove among the others that $K$ admits such a Josefson-Nissenzweig sequence if and only if $C(K)$ does not have the Grothendieck property restricted to functionals from the space $\ell_1(K)$. We also investigate miscellaneous analytic and topological properties of finitely supported Josefson-Nissenzweig sequences on general Tychonoff spaces. We prove that various properties of compact spaces guarantee the existence of finitely supported Josefson-Nissenzweig sequences. One such property is, e.g., that a compact space can be represented as the limit of an inverse system of compact spaces based on simple extensions. An immediate consequence of this result is that many classical consistent examples of Efimov spaces, i.e. spaces being counterexamples to the famous Efimov problem, admit such sequences of measures. Similarly, we show that if $K$ and $L$ are infinite compact spaces, then their product $K imes L$ always admits a finitely supported Josefson--Nissenzweig sequence. As a corollary we obtain a constructive proof that the space $C_p(K imes L)$ contains a complemented copy of the space $c_0$ endowed with the pointwise topology--this generalizes results of Cembranos and Freniche. Finally, we provide a direct proof of the Josefson-Nissenzweig theorem for the case of Banach spaces $C(K)$.

연구 동기 및 목표

• 유한 지지 Radon 측도로 이루어진 Josefson–Nissenzweig 수열을 갖는 컴팩트 공간 $K$를 특성화하는 것.
• 이러한 수열과 $C(K)$에서의 Grothendieck 성질 사이의 관계, 특히 $\ell_1(K)$-함수형에 국한된 경우를 조사하는 것.
• 컴팩트 공간이 유한 지지 Josefson–Nissenzweig 수열을 갖는 데 필요한 위상적 및 해석적 조건을 규명하는 것.
• 기존의 $C(K \times L)$에서의 보완된 $c_0$에 관한 결과를 일반화하기 위해, 유한 지지 측도를 통한 구성적 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• Tychonoff 공간에서의 유한 지지 Josefson–Nissenzweig 수열(fsJN-수열) 개념을 도입하며, 이는 노름이 1이면서 약한* 수렴이 0인 유한 지지 측도의 수열로 정의된다.
• 측도론적 추론과 유한 집합 위의 합에 대한 조합론적 추정을 사용하여, 단순 확장에 의한 컴팩트 공간의 역극한 위에서 이러한 수열을 구성한다.
• Stone 확장 성질을 적용하여 $\beta\omega$에서 임의의 무한 컴팩트 공간 $K$와 $L$로 수열을 올리며, 약한* 수렴성과 유한 지지 성질을 유지한다.
• 기존의 $(\beta\omega)^2$에서의 fsJN-수열로부터 $K \times L$ 위의 당김 측도 수열 $\nu_n$을 구성하고, 연속 함수와의 복합을 통해 약한* 수렴성을 보여준다.
• Riesz 표현 정리를 활용하여 $C_p(X)$ 위의 연속 함수형을 유한 지지 측도와 동일시함으로써, Josefson–Nissenzweig 성질과 $(c_0)_p$가 $C_p(X)$에 보완된 사영으로 포함되는 것 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 이전 증명에서 사용된 복잡한 함수해석학적 기법을 피하면서도, $C(K)$-공간에 대한 Josefson–Nissenzweig 정리의 직접적이고 측도론적인 증명을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 컴팩트 공간 $K$가 노름이 1이면서 약한* 수렴이 0이 되는 유한 지지 측도로 이루어진 Josefson–Nissenzweig 수열을 갖는가?
• RQ2 이러한 수열의 존재성과 $C(K)$에서의 Grothendieck 성질 사이의 정확한 관계는 무엇인가, 특히 $\ell_1(K)$-함수형에 국한된 경우에 대해?
• RQ3 컴팩트 공간 $K$가 유한 지지 Josefson–Nissenzweig 수열을 갖기 위한 위상적 조건는 무엇인가?
• RQ4 두 무한 컴팩트 공간 $K$와 $L$의 곱은 항상 유한 지지 Josefson–Nissenzweig 수열을 갖는가?
• RQ5 이러한 수열의 존재성을 이용하여 $C_p(K \times L)$에서 $c_0$의 보완된 사영을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 컴팩트 공간 $K$가 유한 지지 Josefson–Nissenzweig 수열을 갖는다 하는 것과 $C(K)$가 $\ell_1(K)$-함수형에 국한된 Grothendieck 성질을 갖지 않는 것은 동치이다.
• 두 무한 컴팩트 공간 $K$와 $L$의 곱 $K \times L$는 항상 유한 지지 Josefson–Nissenzweig 수열을 갖는다. 이는 $\beta\omega \times \beta\omega$에서의 올림을 통해 보여진다.
• $K \times L$ 위에서 이러한 수열의 존재성은 $C_p(K \times L)$가 $(c_0)_p$를 몫으로 갖는다는 것을 의미하며, Cembranos와 Freniche의 결과를 일반화한다.
• 논문은 복잡한 함수해석학적 추론을 피하면서도, $C(K)$-공간에 대한 Josefson–Nissenzweig 정리의 직접적이고 측도론적인 증명을 제공한다.
• 단순 확장을 통한 컴팩트 공간의 역극한을 이루는 공간들은 유한 지지 Josefson–Nissenzweig 수열을 갖는다. 이는 Efimov 공간의 많은 고전적인 일致 예시에 적용된다.
• 이러한 구성은 $K \times L$ 위에 노름이 1인 약한* 수렴이 0인 유한 지지 측도 수열을 제공하며, 모든 $f \in C(K \times L)$에 대해 $\lim_{n \to \infty} \int_{K \times L} f \, d\nu_n = 0$ 임을 보장한다.