[논문 리뷰] The K-moment problem for continuous linear functionals

Jean B. Lasserre|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 28.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 실수 공간 ℝⁿ 내 기본 닫힌 준대수집합 K ⊆ ℝⁿ 위에서 연속 선형 함수에 대한 K-모멘트 문제를 해결한다. 다항함수 공간에 가중치 ℓ₁-노름(topology) ‖·‖_w 를 도입함으로써, 전순서 P(g)와 이차 모듈러 Q(g)의 ℓ_w-폐포가 K 위에서 음이 아닌 다항함수의 원소로 구성된 원소인 Psd(K)와 정확히 일치함을 증명한다. 또한 ℓ_w-연속인 K-모멘트 함수에 대한 특성은 P(g) 위에서의 음성 및 다항식으로 유계진 모멘트 수열을 포함한다.

ABSTRACT

Given a closed (and non necessarily compact) basic semi-algebraic set $K\subseteq R^n$, we solve the $K$-moment problem for continuous linear functionals. Namely, we introduce a weighted $\ell_1$-norm $\ell_w$ on $R[x]$, and show that the $\ell_w$-closures of the preordering $P$ and quadratic module $Q$ (associated with the generators of $K$) is the cone $psd(K)$ of polynomials nonnegative on $K$. We also prove that $P$ an $Q$ solve the $K$-moment problem for $\ell_w$-continuous linear functionals and completely characterize those $\ell_w$-continuous linear functionals nonnegative on $P$ and $Q$ (hence on $psd(K)$). When $K$ has a nonempty interior we also provide in explicit form a canonical $\ell_w$-projection $g^w_f$ for any polynomial $f$, on the (degree-truncated) preordering or quadratic module. Remarkably, the support of $g^w_f$ is very sparse and does not depend on $K$! This enables us to provide an explicit Positivstellensatz on $K$. At last but not least, we provide a simple characterization of polynomials nonnegative on $K$, which is crucial in proving the above results.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트인 기본 준대수집합 K ⊆ ℝⁿ에 대해 K-모멘트 문제를 해결한다. 이는 기존의 방법이 가장 미세한 국소凸 위상에서의 조밀성 부족으로 실패하기 때문에 발생하는 문제이다.
• Scheiderer의 부정적인 결과에서 비롯된 한계를 극복하기 위해 가장 미세한 국소凸 위상 대신 가중치 ℓ₁-노름 위상 ‖·‖_w 를 도입함으로써, 모멘트 수열을 더 잘 반영할 수 있다.
• P(g)와 Q(g) 위에서 음이 아닌 ℓ_w-연속 선형 함수에 대해 특성 기술함으로써, 새로운 위상 프레임워크 내에서 K-모멘트 문제를 해결한다.
• 비콤팩트 K에 대해 명시적인 Positivstellensatz를 제공하기 위해, 다항함수를 P_d(g)와 Q_d(g)에 대한 희박한 ℓ_w-투영으로 구성한다.

제안 방법

• 양의 가중치 수열 w: ℕⁿ → ℝ>₀ 를 사용하여 ℝ[x] 위에 가중치 ℓ₁-노름 ‖·‖_w 를 도입하고, 다항함수 공간에 위상 구조를 정의한다.
• 전순서 P(g)와 이차 모듈러 Q(g)의 ℓ_w-폐포가 K 위에서 음이 아닌 다항함수의 원소로 구성된 원소 Psd(K)와 정확히 일치함을 증명한다.
• 선형 함수 L_y 가 ℓ_w-연속인 K-모멘트 함수일 조건은, 모든 h ∈ ℝ[x] 및 K의 생성자 g_j 에 대해 L_y(h²g_j) ≥ 0 이고, 어떤 M > 0 에 대해 |y_α| ≤ M w_α 를 만족함을 특성 기술한다.
• K의 내부가 비어있지 않은 경우, 다항함수 f 를 P_d(g) 및 Q_d(g) 위로 투영하는 표준 ℓ_w-투영 g^w_f(d) 를 정의하며, 이 투영의 지지집합은 K에 의존하지 않으며 매우 희박하다.
• ℓ_w-투영을 활용하여 명시적인 Positivstellensatz 유도: f ≥ 0 on K iff 모든 ε > 0 에 대해 어떤 d 에 대해 f + ε(1 + ∑_{i=1}^n ∑_{k=1}^d x_i^{2k}/(2k)!) ∈ P(g) 를 만족한다.
• 비음성인 f 및 느리게 증가하는 모멘트를 갖는 f dμ 의 경우, 모멘트 수열이 Carleman 조건을 만족함을 보이며, 이는 표현 측도의 유일성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 K에 대해 가장 미세한 국소凸 위상 외의 위상으로 K-모멘트 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 기본 닫힌 준대수집합에 대해 전순서 P(g)와 이차 모듈러 Q(g)의 ℓ_w-폐포가 Psd(K) 와 정확히 일치하는가?
• RQ3 ℓ_w-연속 선형 함수 중 K-모멘트 함수로 간주되는 것은 무엇인가?
• RQ4 ℓ_w-노름에서 P_d(g) 및 Q_d(g) 위로 다항함수의 명시적이고 희박한 투영을 구성할 수 있는가?
• RQ5 ℓ_w-투영을 기반으로 비콤팩트 K에 대해 명시적인 Positivstellensatz 가 존재하는가?

주요 결과

• 전순서 P(g)와 이차 모듈러 Q(g)의 ℓ_w-폐포는 정확히 K 위에서 음이 아닌 다항함수의 원소로 구성된 원소 Psd(K) 와 일치한다.
• 선형 함수 L_y 가 ℓ_w-연속인 K-모멘트 함수일 조건은, 모든 h ∈ ℝ[x], 모든 생성자 g_j 에 대해 L_y(h²g_j) ≥ 0 이고, 어떤 M > 0 에 대해 |y_α| ≤ M w_α 를 만족함을 만족한다.
• K의 내부가 비어있지 않은 경우, 다항함수 f 를 P_d(g) 또는 Q_d(g) 위로 투영하는 표준 ℓ_w-투영 g^w_f(d) 는 K에 의존하지 않으며 매우 희박한 지지집합을 가진다.
• 투영 g^w_f(d) 는 명시적으로 계산 가능하며, lim_{d→∞} ‖f − g^w_f(d)‖_w = 0 를 만족함으로써 ℓ_w-노름에서 수렴함을 보장한다.
• 다항함수 f 가 K 위에서 음이 아닌 것은, 모든 ε > 0 에 대해 어떤 d 가 존재하여 f + ε(1 + ∑_{i=1}^n ∑_{k=1}^d x_i^{2k}/(2k)!) ∈ P(g) 를 만족함과 동치이며, 이는 구성 가능한 Positivstellensatz 를 제공한다.
• K 위의 유한 Borel 측도 μ 의 모멘트 수열은 fμ 가 음이 아니며 모멘트가 느리게 증가할 경우 Carleman 조건을 만족함을 보이며, 이는 표현 측도의 유일성을 보장한다.