[논문 리뷰] The K-theory of symplectic quotients

Megumi Harada, Gregory D. Landweber|arXiv (Cornell University)|2005. 03. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 톨만과 와이츠만의 Borel-동치 코homology에 대한 작업에 대한 K-이론적 유사체를 제공하며, 해밀턴ian $T$-공간에 대해 적절한 분할 조건 하에서 $K^*(M//G)$의 Goresky-Kottwitz-MacPherson 유형의 조합론적 기술을 수립하고, $\mathbb{C}^N$의 선형 토르스 작용에 의한 심플렉틱 몫으로서의 매끄럽고 컴act한 토릭 다양체의 $K^*$를 계산하는 데 응용한다. 이는 해밀턴ian $G$-공간에 대해 $K^*_G(M)$에서 일반 K-이론 $K^*(M//G)$로의 전성 사상의 핵을 계산함으로써 이루어진다.

ABSTRACT

ABSTRACT. Let G be a compact connected Lie group and (M, ω) a Hamiltonian G-space. In a previous paper, the authors showed that the equivariant K-theory of the manifold M surjects onto the ordinary integral K-theory of the symplectic quotient M//G, under certain technical conditions on µ. In this paper, we give a method for computing the K-theory of M//G by obtaining an explicit description of the kernel of the surjection κ: K ∗ G(M) ։ K ∗ (M//G). Our results are K-theoretic analogues of the work of Tolman and Weitsman for Borel-equivariant cohomology. We first obtain a description of the kernel of κ in the case when G = T is abelian by Morse-theoretic methods. We then use our K-theoretic analogue of a result of Martin in Borel-equivariant rational cohomology to reduce the non-abelian case to the abelian case. Further, in the abelian case, we prove that under suitable technical conditions on the T-orbit stratification of M, there is an explicit Goresky-Kottwitz-MacPherson (“GKM”) type combinatorial description of the K-theory of a Hamiltonian T-space in terms of fixed point data. Finally, we illustrate our methods by computing the ordinary K-theory of smooth compact toric varieties, which arise as symplectic quotients of an affine space C N by a linear torus action. CONTENTS

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 몫에 대한 톨만과 와이츠만의 코homological 결과에 대한 K-이론적 유사체를 개발한다.
• 해밀턴ian $G$-공간에 대해 $\kappa: K^*_G(M) \twoheadrightarrow K^*(M//G)$ 전성 사상의 핵을 특성화한다.
• 비아벨(compact Lie)군으로부터의 일반화를 위해 비아벨 군의 경우를 아벨 군의 경우로 줄이는 기법을 통해 $K^*(M//G)$의 계산을 확장한다.
• 적절한 궤도 분할 조건 하에서 해밀턴ian $T$-공간에 대해 $K^*$의 조합론적 GKM 유형 기술을 수립한다.
• 이 토대를 사용하여 $\mathbb{C}^N$의 심플렉틱 몫으로서 나타나는 매끄럽고 컴 pact한 토릭 다양체의 일반 K-이론을 계산한다.

제안 방법

• G = T가 토르스일 경우, $\kappa$의 핵을 기술하기 위해 모어즈 이론적 방법을 사용한다.
• Borel-등치 유리 코hom로에서 마틴의 결과에 대한 K-이론적 유사체를 적용하여 비아벨 경우를 아벨 경우로 줄인다.
• G = T가 아벨일 경우 고정점 자료에 기반한 $K^*(M//G)$의 Goresky-Kottwitz-MacPherson 유형의 조합론적 모델을 구축한다.
• M의 $T$-궤도 분할을 이용하여 $K^*$-류를 매개하는 조합론적 자료를 정의한다.
• 선형 토르스 작용에 대한 $\mathbb{C}^N$의 경우에 이 토대를 적용하여 매끄럽고 컴 pact한 토릭 다양체에 대해 명시적인 계산을 수행한다.
• $\kappa: K^*_T(M) \twoheadrightarrow K^*(M//T)$ 전성을 수립하고, 국소화 및 분할 자료를 통해 그 핵을 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀턴ian $G$-공간 $M$에 대해 전성 사상 $\kappa: K^*_G(M) \twoheadrightarrow K^*(M//G)$의 핵은 무엇인가?
• RQ2 아벨 경우에서 모어즈 이론적 기법을 사용하여 K-이론적 핵을 어떻게 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 비아벨 군에서 아벨 군으로의 감소를 가능하게 하는 Borel-등치 유리 코hom로에서 마틴의 결과에 대한 K-이론적 유사체는 무엇인가?
• RQ4 해밀턴ian $T$-공간에 대해 $K^*(M//G)$의 Goresky-Kottwitz-MacPherson 유형의 조합론적 기술이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 토대는 매끄럽고 컴 pact한 토릭 다양체의 일반 K-이론을 어떻게 계산하는 데 응용할 수 있는가?

주요 결과

• 아벨 경우에서 $\kappa: K^*_T(M) \twoheadrightarrow K^*(M//T)$의 핵은 모어즈 이론적 방법을 통해 명시적으로 기술된다.
• 비아벨 군의 작용에 대해 마틴의 결과에 대한 K-이론적 유사체는 해밀턴ian $G$-공간에 대한 비아벨에서 아벨로의 감소를 가능하게 한다.
• 적절한 $T$-궤도 분할 조건 하에서, 고정점 자료에 기반한 해밀턴ian $T$-공간의 K-이론은 GKM 유형의 조합론적 기술을 가진다.
• 선형 토르스 작용에 의한 $\mathbb{C}^N$의 심플렉틱 몫으로서 나타나는 매끄럽고 컴 pact한 토릭 다양체의 K-이론은 이 토대를 통해 명시적으로 계산된다.
• 이 방법은 등변 K-이론, 분할 자료, 국소화 기법을 조합하여 $K^*(M//G)$를 체계적으로 계산할 수 있는 방법을 제공한다.
• 이 토대는 톨만과 와이츠만의 코homological 결과를 K-이론적 맥락으로 일반화하여, 심플렉틱 몫에 대한 새로운 계산 도구를 제공한다.