[논문 리뷰] The Kijowski--Liu--Yau quasi-local mass of the Kerr black hole horizon

Maciej Dunajski, Paul Tod|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 26.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 14인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 모든 스핀 매개변수 $ j = J/m^2 \in [0,1] $ 에 대해 킬러 블랙홀 시공의 Kijowski-Liu-Yau 준국소 질량을 계산한다. 빠르게 회전하는 블랙홀에서의 음의 가우스 곡률 문제를 해결하기 위해 $ j > \sqrt{3}/2 $ 일 때는 쌍곡공간 임bedding을 사용한다. 질량은 $ j = 0 $ 에서 $ 2m $ 로부터 시작하여 $ j = \sqrt{3}/2 $ 에서 $ 1.76569m $ 로 단조 감소하고, $ j \approx 0.99907 $ 근처에서 최대값 $ 2.02223m $ 으로 증가한 후, 극한 킬러 극한 $ j = 1 $ 에서 $ 2.01966m $ 로 감소한다. 이 방법은 최대 쌍곡반경 선택을 통해 전이점 $ j = \sqrt{3}/2 $ 에서 평균 곡률과 질량의 연속성을 보장한다.

ABSTRACT

We use an isometric embedding of the cross-over surface of the outer horizon of a rapidly rotating Kerr black hole in a hyperbolic space to compute the quasi-local mass of the horizon for any allowed value of the spin parameter j = J/m 2. The mass is monotonically decreasing from twice the ADM mass at j = 0 to 1.765 69m at j=3/2 . It then monotonically increases to a maximum around j = 0.999 07, and finally decreases to 2.019 66m for j = 1 which corresponds to the extreme Kerr black hole.

연구 동기 및 목표

• 모든 허용 가능한 스핀 매개변수 $ j \in [0,1] $ 에 대해 킬러 블랙홀 시공의 Kijowski-Liu-Yau 준국소 질량을 계산하는 것. 이는 가우스 곡률이 음이 되는 빠르게 회전하는 경우를 포함한다.
• 스핀 매개변수 $ j > \sqrt{3}/2 $ 에서 표준 평면공간 등거리 임베딩 방법이 붕괴하는 문제를 해결하는 것. 이 경우 시공의 가우스 곡률이 극 부근에서 음이 된다.
• 비음성 곡률을 가진 시공에 대해 Kijowski-Liu-Yau 준국소 질량 체계의 적용 범위를 확장하기 위해 쌍곡공간 임베딩을 도입하는 것.
• 비극한 스핀 $ j = \sqrt{3}/2 $ 에서 평균 곡률과 그로 인한 질량의 연속성을 확보하기 위해 전역 임베딩을 위한 최대 쌍곡반경 선택을 통한 방법 개발.

제안 방법

• 쌍곡 3차원 공간 $ H^3 $ 에서 상반평면 모델을 사용하여 킬러 시공의 횡단면을 임베딩한다. 메트릭은 $ G_L = L^2 z^{-2}(dz^2 + dr^2 + r^2 d\phi^2) $ 로 주어지며, $ L $ 은 쌍곡반경이다.
• 좌표 $ (x, \phi) $, $ x = \cos\theta $ 를 사용한 회전면 해법을 적용하여 시공 메트릭을 $ H^3 $ 에 등거리 임베딩한다. 그리고 $ Z(x) $ 와 $ R(x) $ 를 구하기 위해 임베딩 방정식을 푼다.
• 쌍곡메트릭의 제2 기본형과 리만-레비치비타 접속을 사용하여 $ H^3 $ 내 임베딩 표면의 평균 곡률 $ H $ 를 계산한다.
• $ j \leq \sqrt{3}/2 $ 일 경우, 가우스 곡률이 음이 아닌 조건에서 유효한 표준 평면공간 $ \mathbb{R}^3 $ 임베딩을 사용한다.
• 전이점 $ j = \sqrt{3}/2 $ 에서 두 임베딩을 매칭하기 위해 평균 곡률가 연속이 되도록 쌍곡반경 $ L $ 을 선택한다.
• 경계 특이성(적분자에 제곱근이 존재함)을 신중히 다루며, 심프슨 법칙을 사용하여 $ x \in [-1,1] $ 에 대해 준국소 질량 기능을 수치적으로 적분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우스 곡률이 음이 되어 표준 $ \mathbb{R}^3 $ 임베딩이 무효화되는 경우, 킬러 블랙홀 시공의 Kijowski-Liu-Yau 준국소 질량은 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 스핀 매개변수 $ j = J/m^2 $ 에 따른 준국소 질량의 행동은 어떠한가? 특히 $ j > \sqrt{3}/2 $ 인 빠르게 회전하는 영역에서 어떻게 되는가?
• RQ3 준국소 질량은 극한 킬러 극한 $ j = 1 $ 근처에서 최대값을 보일까? 만약 그렇다면 그 값과 위치는 무엇인가?
• RQ4 비극한 스핀 $ j = \sqrt{3}/2 $ 에서 평면공간과 쌍곡공간 임베딩 간의 연속적인 전이가 가능할까? 평균 곡률과 질량의 연속성이 보장되는가?

주요 결과

• 준국소 질량은 $ j = 0 $ 에서 $ 2m $ 로부터 시작하여 $ j = \sqrt{3}/2 $ 에서 $ 1.76569m $ 로 단조 감소하며, 이는 $ \mathbb{R}^3 $ 에서의 표준 Kijowski-Liu-Yau 체계와 일치한다.
• $ j > \sqrt{3}/2 $ 일 경우 질량은 $ 1.76569m $ 로부터 단조 증가하여 $ j \approx 0.99907 $ 근처에서 최대값 $ 2.02223m $ 에 도달한다. 이는 스핀에 대한 비단조적 의존성을 시사한다.
• 극한 킬러 극한 $ j = 1 $ 에서 질량은 $ 2.01966m $ 로 감소하며, 최대값이 극한에 도달하기 직전에 발생함을 확인한다.
• 최대 쌍곡반경 $ L $ 을 선택함으로써 $ j = \sqrt{3}/2 $ 에서 평균 곡률과 그로 인한 질량의 연속성이 보장되며, 하이브리드 임베딩 접근법의 타당성이 입증된다.
• 수치 수렴 테스트 결과 고정밀도를 확보하였다. 해상도를 500에서 10,000으로 변경해도 질량의 첫 6자리 유효숫자는 변하지 않았으며, $ j = 1 $ 근처에서의 느린 수렴은 적분자 내 비미분 가능 제곱근 때문임을 확인하였다.
• 결과는 Wang-Yau 방법과 일치한다. Wang-Yau 방법도 $ j > \sqrt{3}/2 $ 에서 질량이 증가함을 시사하지만, 본 방법은 유일하게 $ j \approx 0.99907 $ 근처에서 전역 최대값을 밝혀내었다.