[논문 리뷰] The L_\infty-deformation complex of diagrams of algebras

Yaël Frégier, Martin Markl외 1명|ArXiv.org|2008. 12. 16.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 51인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최소 모델 위에서의 그래프 치환을 사용하여 색이 있는 PROPs 위의 대각선 대수의 변형 복합체에 대해 명시적인 $L_∞$-대수 구조를 구축한다. 주요 기여는 모든 $L_∞$-연산에 대한 명시적 공식을 제공하는 것으로, 특히 상호 역함수인 사상의 경우 비자명한 $l_0$-항을 포함하며, 변형 복합체가 양자 마스터 방정식을 통해 변형을 지배함을 보여준다.

ABSTRACT

The deformation complex of an algebra over a colored PROP P is defined in terms of a minimal (or, more generally, cofibrant) model of P. It is shown that it carries the structure of an L_\infty-algebra which induces a graded Lie bracket on cohomology. As an example, the L_\infty-algebra structure on the deformation complex of an associative algebra morphism g, with the underlying cochain complex isomorphic to the Gerstenhaber-Schack complex of g, is constructed. Another example is the deformation complex of a Lie algebra morphism. The last example is the diagram describing two mutually inverse morphisms of vector spaces. Its L_\infty-deformation complex has a nontrivial constant term. Explicit formulas for the L_\infty-operations in the above examples are given. A typical deformation complex of a diagram of algebras is a fully-fledged L_\infty-algebra with nontrivial higher operations.

연구 동기 및 목표

• 색이 있는 PROPs 위의 대수에 대한 최소 모델을 사용하여 변형 복합체를 정의한다.
• 그래프 치환을 통해 이 복합체 위에 명시적인 $L_\infty$-대수 구조를 구축한다.
• 특수한 예로서 결합 대수 및 리 대수 사상의 경우 모든 $L_\infty$-연산에 대한 명시적 공식을 제공한다.
• 서로 역함수인 사상의 경우, $L_\infty$-구조에 비자명한 $l_0$-항이 존재하는지 분석한다.
• 변형 복합체가 양자 마스터 방정식을 만족하고 변형을 지배함을 보인다.

제안 방법

• 색이 있는 PROPs $\mathsf{P}$의 최소 모델 $\alpha: (\mathsf{F}(E),\partial) \to \mathsf{P}$를 사용하여 변형 복합체 $C^*_{\mathsf{P}}(T;T) = \operatorname{Der}(\mathsf{F}(E), \mathcal{E})$를 정의한다. 여기서 $\mathcal{E} = \operatorname{End}_T$ 이고 $\beta = \rho\alpha$.
• 복합체에 미분 $\delta$를 부여하여 $\theta \in \operatorname{Der}(\mathsf{F}(E), \mathcal{E})$ 에 대해 $\theta \partial$ 를 보낸다.
• 최소 모델의 구조를 이용해 복합체 $\mathsf{F}(E)$ 위에서 그래프 치환을 통해 $L_\infty$-연산 $l_k$를 구성한다.
• 특정 색이 있는 PROPs에 적용: $\mathbf{As}_{\texttt{B}\to\texttt{W}}$ 는 결합 대수 사상에 대해, $\mathbf{Lie}_{\texttt{B}\to\texttt{W}}$ 는 리 대수 사상에 대해, $\mathbf{Iso}$ 는 서로 역함수인 사상에 대해.
• 명시적으로 $l_0$, $l_1$, $l_2$ 를 계산하고, $\mathbf{Iso}$ 경우에 대해 $k \geq 3$ 일 때 모든 $l_k = 0$ 임을 보인다.
• 모든 $l_1^2 = 0$ 이고, 마우러-카르탕 방정식에 $l_0$-항이 포함되어 있음을 확인하여 변형 이론과의 일致성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 색이 있는 PROPs 위의 대수 다이어그램의 변형 복합체에 대해 $L_\infty$-대수 구조를 구축할 수 있는가?
• RQ2 결합 대수 사상에 대해 $L_\infty$-연산 $l_k$ 의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 리 대수 사상의 변형 복합체는 비자명한 $L_\infty$-구조를 지니는가? 만약 그렇다면 그 연산은 무엇인가?
• RQ4 서로 역함수인 사상의 쌍에 대한 변형 복합체의 $L_\infty$-구조는 비자명한 $l_0$-항을 포함할 수 있는가?
• RQ5 $L_\infty$-구조는 변형 이론에서 양자 마스터 방정식과 마우러-카르탕 방정식과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 색이 있는 PROPs $\mathsf{P}$ 위의 $\mathsf{P}$-대수 $T$ 의 변형 복합체 $C^*_{\mathsf{P}}(T;T)$ 는 최소 모델 위에서의 그래프 치환에 의해 유도된 자연스러운 $L_\infty$-대수 구조를 지닌다.
• 결합 대수 사상의 경우, 기본 코체인 복합체는 게르스텐하버-샤크 복합체와 동형이며, $k=1,2$ 및 $k\geq 3$ 에 대해 모든 $L_\infty$-연산 $l_k$ 가 명시적으로 계산된다.
• 리 대수 사상의 경우, 첫 번째 $L_\infty$-연산 $l_1$ 은 $S$-코homology 복합체와 동형이며, [9]에서 제기된 열린 문제를 해결한다.
• 서로 역함수인 사상($\mathbf{Iso}$-대수)의 경우, $L_\infty$-구조는 비자명한 $l_0$-항을 지니며, 이는 차수 2에서 $\operatorname{Id}_U \oplus \operatorname{Id}_V$ 와 같다.
• $L_\infty$-연산 $l_1$ 과 $l_2$ 는 명시적으로 주어지며: $l_1$ 은 차수의 기수성에 따라 부호 규칙을 따르는 그레이드 도함수로 작용하고, $l_2$ 는 합성과 슈퍼교환자 공식으로 주어진다.
• 모든 고차 연산 $l_k$ 는 $k \geq 3$ 일 때 $\mathbf{Iso}$ 경우에 대해 0이며, $l_1^2 = 0$ 이다. 이는 $l_2(l_0, w) = 0$ 으로 인해 성립하며, 표준적인 변형이론 프레임워크가 적용됨을 보장한다.