[논문 리뷰] The L^p-to-L^q boundedness of commutators with applications to the Jacobian operator

Tuomas Hytönen|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 30.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 28인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 점별 곱셈과 Calderón–Zygmund 연산자에 대한 교환자 $[b,T]$의 $L^p$-to-$L^q$ 유계성에 대한 특성 분석을 완성하며, $T$에 대한 최소한의 비퇴화 조건 하에서 모든 $1 < p,q < ∞$에 대해 정확한 필요 및 충분 조건을 확립한다. 주요 결과는 $T$가 영이 아닌 동차 특이 적분일 경우 $[b,T]$의 $L^p$-유계성이 성립하기 위해 $b \in \mathrm{BMO}$이어야 한다는 것을 확인함으로써, Lerner, Ombrosi, 및 Rivera-Ríos가 최근 제기한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

Supplying the missing necessary conditions, we complete the characterisation of the $L^p o L^q$ boundedness of commutators $[b,T]$ of pointwise multiplication and Calderón-Zygmund operators, for arbitrary pairs of $1q$, our results are new even for special classical operators with smooth kernels. As an application, we show that every $f\in L^p(R^d)$ can be represented as a convergent series of normalised Jacobians $Ju=\det abla u$ of $u\in \dot W^{1,dp}(R^d)^d$. This extends, from $p=1$ to $p&gt;1$, a result of Coifman, Lions, Meyer and Semmes about $J:\dot W^{1,d}(R^d)^d o H^1(R^d)$, and supports a conjecture of Iwaniec about the solvability of the equation $Ju=f\in L^p(R^d)$.

연구 동기 및 목표

• 모든 $1 < p,q < \infty$에 대해 점별 곱셈과 Calderón–Zygmund 연산자에 대한 교환자 $[b,T]$의 $L^p$-to-$L^q$ 유계성에 대한 특성 분석을 완성한다.
• 유계성에 대한 정확한 필요 조건을 확립하며, 특히 영이 아닌 동차 특이 적분에 대해 $b \in \mathrm{BMO}$의 필요성을 해결한다.
• 이론을 반복 교환자 및 $A_p$ 가중치를 가진 가중 $L^p$ 공간으로 확장한다.
• 유계성 결과를 자코비안 행렬식 연산자에 적용하여, 모든 $f \in L^p(\mathbb{R}^d)$가 $u \in \dot{W}^{1,dp}(\mathbb{R}^d)^d$에 대해 수렴하는 정규화된 자코비안 $Ju = \det \nabla u$의 급수로 표현될 수 있음을 보인다.

제안 방법

• 교환자 $T_b^k$에 대해 약한 유형 테스팅 조건 (4.7)을 사용하여, 가중치 $\nu^{1/k}$에 대한 $b$의 BMO 유형 노름 추정을 유도한다.
• Lemma 4.3.3을 적용하여 $A_p$ 가중치 $\mu$, $\lambda$와 가중치 $\nu = (\mu/\lambda)^{1/p}$를 연결함으로써, 측도 곱의 제어를 $\langle \nu^{1/k} \rangle_B^k$를 통해 가능하게 한다.
• 이중 분해를 사용하고, 동일한 반경을 가진 서로 떨어져 있는 구 $B$, $\tilde{B}$에서의 테스팅을 통해 교환자의 행동을 국소화한다.
• 커프만–로체버그–위스의 고전적 $\mathrm{BMO}$ 필요성 증명을 수정·확장하여, 커널 $K$에 대한 최소한의 비퇴화 조건 하에서 적용한다.
• 유계성 이론을 자코비안 연산자에 적용하기 위해, 교환자 구조를 통해 $f \in L^p(\mathbb{R}^d)$의 정규화된 자코비안 $Ju$의 급수 표현을 구성한다.
• $L^p$와 $L^{p'}$ 사이의 딜레마를 활용하고 교환자의 유계성을 통해 $L^p$ 수렴성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 $1 < p,q < \infty$ 및 비퇴화된 Calderón–Zygmund 연산자 $T$에 대해, $[b,T]$의 $L^p(\mathbb{R}^d) \to L^q(\mathbb{R}^d)$ 유계성에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 만약 $T$가 영이 아닌 동차 특이 적분일 경우, $[b,T]$의 $L^p$-유계성이 성립하기 위해 $b \in \mathrm{BMO}(\mathbb{R}^d)$가 필수적인가?
• RQ3 반복 교환자 $T_b^k$의 유계성 성질은 $A_p$ 가중치를 가진 가중 $L^p$ 공간으로 어떻게 확장되는가?
• RQ4 모든 $f \in L^p(\mathbb{R}^d)$는 $u \in \dot{W}^{1,dp}(\mathbb{R}^d)^d$에 대해 수렴하는 정규화된 자코비안 $Ju = \det \nabla u$의 급수로 표현될 수 있는가?
• RQ5 $L^p$-유계성이 성립할 경우, 커널 $K$에 대한 최소한의 비퇴화 조건 하에서도 $b$에 대한 정확한 BMO 조건이 유도되는가?

주요 결과

• $[b,T]$의 $L^p$-to-$L^q$ 유계성이 성립하는 것은 다음 조건 중 하나를 만족할 때이다: $p = q$ 이고 $b \in \mathrm{BMO}$이거나, $p < q \leq p^*$ 이고 $b$가 $\alpha$-Hölder 연속성($\alpha = (1/p - 1/q)d$)을 가지거나, $q > p^*$ 이고 $b$가 상수이거나, $p > q$ 이고 $b = a + c$ 이며 $a \in L^r$, $1/r = 1/q - 1/p$, $c$가 상수인 경우이다.
• 모든 영이 아닌 동차 특이 적분 $T$에 대해, $[b,T]$가 $L^p(\mathbb{R}^d)$에서 유계이기 위해서는 $b \in \mathrm{BMO}(\mathbb{R}^d)$이어야 하며, 이는 Lerner, Ombrosi, 및 Rivera-Ríos가 최근 제기한 열린 문제를 해결한다.
• 최소한의 비퇴화 조건과 $A_p$ 가중치 조건 하에서, $k$-번째 반복 교환자 $T_b^k$의 $L^p(\mu) \to L^p(\lambda)$ 유계성에 대해 $b \in \mathrm{BMO}(\nu^{1/k})$의 필요성이 확립된다.
• 제약 조건 $\|b\|_{\mathrm{BMO}(\nu^{1/k})} \lesssim \Theta^{1/k}$가 성립하며, 여기서 $\Theta$는 약한 유형 테스팅 조건 (4.7)을 제어하며, 교환자 노름에 대한 정확한 의존성임을 확인한다.
• 모든 $f \in L^p(\mathbb{R}^d)$, $p > 1$은 $u \in \dot{W}^{1,dp}(\mathbb{R}^d)^d$에 대해 정규화된 자코비안 $Ju = \det \nabla u$의 수렴 급수로 표현될 수 있으며, 이는 $p=1$에서의 결과를 $p>1$로 확장한다.
• 이 급수 표현은 Iwaniec의 추측, 즉 $Ju = f$의 해가 $L^p(\mathbb{R}^d)$에서 존재함을 지지하며, $p > 1$에 대해 구조적 프레임워크를 제공한다.